Mathematics
มัธยมปลาย
เคลียร์แล้ว
この問題でbは定数扱いですか？変数扱いですか？教えて頂きたいですm(_ _)m
nを2以上の自然数とする。 三角形ABC において,辺ABの長さを c, 辺 CA の長さ
を6で表す。 ∠ACB=n∠ABC であるとき, c<nb を示せ
。
[20 大阪大・理系]
指針 238 〈三角形の角と不等式〉
三角形の角度に関する条件から, 辺の長さに関する不等式を示す。
⇒三角比を用いて, 辺の長さを表す。
不等式 f(x)>0 を示すとき, y=f(x) の増減を調べる。
大
八
∠ABC = 0 とおくと
∠ACB = ne
A
$30 1-1
00 かつ 0+n0 <πより
π
00
no,
n+1
B
b
C
正弦定理により
sino sinno
sinno
すなわち
C=
-b
sin
■3点A, B, Cが三角形を
なすためには 0>0 が必
要であり, △ABCの2つ
の内角の和が180°より小
さくなることから0のと
りうる値の範囲が定まる。
sinno
よって
nb-c=nb-
-b
sinO
nsinsinno
sin
b
ここで,00<-
-<πであるから sin0 >0
n+1
また 60
◆nは2以上の整数であるか
ゆえに,nsinsinn00 を示す。
x
n+1
5
f(0)=nsino-sinne (0<< とおくと
(0<<)とおくと←変数それをみてしまっていた。
f'(0)=ncoso-ncosnd=n(coso-cosnθ)
n=wの時を考えている
考えている
ので、いは定数。
ここで,nは2以上の自然数であるから
0<no
NT
また、より
0<n<
n+1
ゆえに
coso-cosnd>0
すなわち
f'(0)>0
π
n+1
よって, 00- においてf(0) は単調に増加する。
045
また,f(0) = 0 であるから, 0<0<π
n+1
において f(0)>0
よって
nb-c0
したがって c<nb
n+1
nπ
n+1
<1より
(
参考 nsino-sinn0 > 0 の証明には数学的帰納法を用いることも
できる。
คำตอบ
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