Question

はん

PAの最小って0じゃないんですか？動点Pと定点Aが原点に来た時です

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基本 例題 145 放物線上の点と定点の距離の最小
00000
放物線y=6x上の点P と, 定点A(a, 0) の距離の最小値を求めよ。ただし
は実数の定数とする。
距離は2乗して扱う に従い,P(s, t) として PA” を
指針
計算。 また, t2=6s
① より PA2はsの2次式で表さ
P.
れるから 基本形に直す。
A
P
a
0
基本事項
1 曲線 F
曲線 F
程式は
② 2次曲
方程式
→ ①からわかる, かくれた条件s ≧ 0 に注意。
s の範囲が s≧0 であることから,軸の位置について
[1] 軸≦0 [2] 軸>0 で場合分けして最小値を求める。
なお, α は任意の実数値をとりうる。
CHART 2次式は基本形α(x-p) +α に直す
P(s, t) とすると
a
のとき]
解説
方程式
x2+y2-
線を表す
という。
これま
ること
解答
PA2= (s-a)'+t
点Pは放物線y2=6x上にあるから
t2=6s
ときは,
Ma≦3のとき
PA2A
ゆえに
PA'= (s-a)+6s
しかし,
軸
の1つ
=s2-2(a-3)s+α²
={s-(a-3)}-(a-3)2 +α²
={s-(a-3)}'+6a-9
S=
-≧0 であるから
s≧0
6
[1] α-3≦0 すなわち as3のとき
PA2 は s=0 のとき最小となり,最小値は 2
[2] 0<a-3 すなわち α>3のとき
PA2はs=a-3のとき最小となり, 最小値は 6α-9
PA>0であるから, PA2が最小となるときPAも最小と
なる。
軸が区間
の左外
a-3
a3のとき
a²
6a-9
軸が区間内
APA2
Q2
が2つ
例
曲線 F
曲線
した曲
C上の
点P (2
点Q

Answer 1

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希

最小が0となるのはa=0の場合のみです。
写真の中の指針に書かれているグラフを見ると、定点Aが(a,0)でa<0の場合、放物線からAが離れていることがわかります。なのでこの場合は距離の最小値は0ではありません。

はん

a=0の時だけだとダメなんですか？自分の感覚だと例えば二次関数の問題でy=2x^2の最小値は？となった時にx=0の時最小値0みたいな感じだと思ったのですが、

希

その問題とは別です。放物線y²=6x上の点をPとするときのPAの長さの最小値に関する問題です。

定点Aというのはあるaに対して固定された点のことです。なので、必ずしも放物線上にある点ではありません。

はん

でもa=0の時放物線上にあって距離0だから最小値0ですよね、a≠0とするとか書かれてたらわかるんですが

希

この問題はaを動かしたときの最小値を求める問題ではないです。
例えば、「放物線y²=6x上の点Pと定点A(2,0)の距離の最小値を求めよ。」という問題が考えられます。この場合の最小値は0ではないことは分かると思います。

同じような問題で、定点Aを(-3,0)にしたり(0,0)にしたりいろいろ作れます。これらの問題を一般化した問題がA(a,0)とした問題です。

はん

だいぶ理解できました！aはあくまで定数なのに、解答の方針やPAはaの場合によって定数のaの式で表せるというのが自分にとって違和感ありありの問題でつまづいてました、ありがとうございました！

希

確かに分かりにくい問題ですね。
頑張ってください。

はん

ありがとうございます😭