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y = -x² + 2ax - 4a + 1 = -(x - a)² + a² - 4a + 1
なので、軸はx = aです。
この2次関数は上に凸なので、
(i) a < -1のとき
軸は定義域より左にあるのでx=-1で最大となります。
よってx = -1で最大値-6aをとる。
(ii) -1 ≦ a < ≦ 2のとき
軸は定義域内にあるので頂点で最大値をとります。
よってx = aで最大値a² - 4a + 1をとる。
(iii) 2 < aのとき
軸は定義域より右にあるのでx=2で最大となる。
よってx = 2で最大値-3をとる。
ありがとうございます！