Question

ヨンジュン🦊🌱

対数関数の問題です
なぜ（2）では最初に真数･底の条件を出しているのに
（1）では出してないのでしょうか？
下の方にそれについての説明があるのですが
同値の関係とは何のことでしょうかいまいちわかりません

本 例題 159 対数方程式の解法
logzx-210gx4=3
基本
次の方程式を解け。
(A) (logs.x)-210gs.x-3=0
CHART&SOLUTION
f(logax) = 0 の形の方程式
おき換え [logx=t]でtの方程式へ変域に注意
この例題のように, loga M=10gaN の形を導けないタイプでは, logsx=tやlogax=1と
おく。 このとき、 変数のおき換え・
→
変域に注意。
logsx=t とおくとは任意の実数の値をとりうる。
よって、10gsx=t のとき, x=3 が解となる。
(1) log.x=t とおくと, tの2次方程式の問題となる。
(2)が異なる問題底の変換公式で10gx4の底を2にそろえる。
なお,底に変数 xがあるから, 0, 底≠1」 の条件が付くことに注意。
[合
(1)10gx=t とおくと
12-21-3=0
慣れてきたら (2) のよう
よって
(t+1)(t-3)=0
ゆえに t=-1,3 すなわち
logsx=-1,3
logs.xのままで処理
する。
したがって
x=3-133
すなわち
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■ (2) 対数の真数, 底の条件から x>0 かつ x≠1
10g24 2
①真数は正,底は1でない
正の数。
10gx4=
であるから, 与えられた方程式は
log2x log2x
10gzx-
4
=3
log2x
よって
整理して
ゆえに
(10gzx) 24=310gx
(logzx)2-310gzx-4=0
(logzx+1) (logzx-4)=0
両辺に10gzx (0) を掛
ける。
←logzx=t とおくと
12-31-4=0
よって
logzx=-1,4
これを解くと
t=-1,4
したがって
x=2-1,24 すなわち
16
これらは①を満たすから, 求める解である。
真数、底の条件を確認。
im (1) の式変形はすべて同値な関係を保ったまま行われているため、 真数条件の確認は
省略しても問題ない。

Answer 1

和

そんなに単純な話ではないです

(2)
log[x]4 = 2/(log[2]x)であり
log[2]x - 4/(log[2]x) = 3 ……②
ここまでは、xの範囲（x>0かつx≠1）
を変えない変形です

この次の(log[2]x)² -4 = 3log[2]x ……③ で、
xの範囲（x>0）が変わってしまっています

単に②と書くと、
底、真数の条件や分母≠0の条件から
「x>0かつx≠1」が（直接こう書いていなくても）
式からほのめかされています

一方、③では「x>0」です
xは真数にだけあるので（底からなくなっているので）
③はx≠1を明示しないし、示唆もしなくなります

※細かいことをいえば、今回は
③にx=1を入れてみれば-4=0で成り立たないので
③もx≠1をほのめかしているといえますが、
一般にはそうとは限りません

②⇒③はいえますが、その逆はいえるかどうか
まだ確かめていません
つまり②と③は（一般に）同値でないので、
少なくとも「底の条件」は（一般に）必要です

これに対して、(1)の変形はすべて、同値な変形です
たとえば、対数の定義の式 : log[a]M=p ⇔ aᵖ=M
は同値です

つまり、すべての式がx>0を示唆し続けているので、
あえてx>0を明示してやる必要はないということです

与えられた方程式もx>0と言っています
log₃x = -1,3 もx>0と言っています
x = 3⁻¹, 3³ もx>0と言っています

何も考えず、とりあえず最初に
真数や底の条件を書いておけばOK
というアドバイスもあり得るとは思いますが、
あまりそういうざっくりしすぎたことも
どうかなと思います