Question

りんご

この問題の解答の上から6行目のところにxは0じゃないとして良いと書いてあるのですが、なぜですか？教えてください。

ff(t)
すべての実数xについて、等式 xf(x)=x+2" f(t)dt を満たす関数
x
f(x) を求めよ。
« @Action 上端(下端)が変数の定積分はf(t)dt=f(x)を利用せよ 例題163
定理の利用
y=f(x) とおくと
をxで微分する f(x) +xf'(x)=1+2f(x) = y+xy'=1+2y
微分方程式
にx = 1 を代入 1•f (1) = 1+2
(1) = 1 +2ff(t)dt
h
tanoith
0
思考プロセス
例題
163
xf(x)=x+2*f(t)dt... ① とおく。
2f*f(t)dt… ① とおく。(
①の両辺をxで微分するとf(x)+xf'(x)=1+2f(x)
dy
y = f(x) とおくと x =y+1
dx
②
関数 f(x) はすべてのxについて定義されており
定数関数 f(x) = -1 は等式①を満たさないから,
x(y+1)=0 としてよい。
よって, ② より
両辺をx 積分すると
log|y + 1| = log|x| + Ci
よって y = ±ex-1
これより
両辺をxで微分して微分
方程式をつくる。
cxS*f(t)dt = f(x)
関数 f(x) = -1 のと
①の左辺は
右辺はは
x+2
x
2∫(-1)dt
x-2t
|=x-2(x-1)
=-x+2
1 dy
1
=
y+1dx x
dy
dx
=
y+1
x
|y+1| = eloglxl+C=ecielog|xl=eci|x|
dを満たさない。
ここで, C=±e とおくと
y=Cx-1 (C≠0) gol
例題
164
また,① に x = 1 を代入すると f (1) =1であるから,
1=C・1-1 より
C = 2
L'
f(t) dt = 0 であるか
したがって, 求める関数 f(x) は
ら f(1) = 1
f(x)=
となり,f(x)=-1 は ①

Answer 1

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AZ

②から変数分離後の式に変形するためには
x≠0 かつ y+1≠0 (すなわち x(y+1)≠0)
がいえる必要がありますが、もしx=0なら0=y+1より
y=-1,ところが解説にある通りこれは矛盾するのでx≠0
一方、y+1=0とすればy=-1になりこれも上と同様に矛盾するため
y+1≠0　がいえます。

りんご

理解しました！たくさん質問に答えていただきありがとうございました！