Question

むにゅたん

(1)がわかりません。解き方の概要を教えてください。

例題 234 を含む確率
n
1が書かれたカードが1枚, 2が書かれたカードが1枚,
****
nが書かれ
たカードが1枚の全部でn枚のカードからなる組がある。 この組から1枚
を抜き出しもとに戻す操作を3回行う。 抜き出したカードに書かれた数を
a, b, c とするとき, 得点を次の規則 (i), (ii) にしたがって定める
(1) a,b,c がすべて異なるとき,得点はa,b,cのうちの最大でも
でもない値とする。
(abcのうちに重複しているものがあるとき、特点はその重複し
また値とする。
1≦k≦n を満たすんに対して, 得点がんとなる確率を とする。
(1)
(一橋大)
思考プロセス
(ウ
(2
kのとり得る値の範囲を考える
で表せ。
(2) が最大となるkをnで表せ
具体的に考える 得点がんとなるのは?
規則(i)
2
k-1
k
k+1
1枚
1枚
n
2
k-1
k+1|
....
n
k
....
規則(ii)
1枚
sks
k≤k≤
k
Action»nやんを含む確率は,その文字のとり得る値の範囲も考えよ
(1) カードの抜き出し方は通りあり、これらは同様に
確からしい。
得点がんとなるのは次の3つの場合がある。)
(ア) 規則 (i) で得点がんとなるとき
kが書かれたカードを1枚,
口
Po
-8
(+)
んが書かれたカードを必
ず抜き出す。
1, 2,..., k-1が書かれたカードを1枚,
+1 +2 •・・, nが書かれたカードを1枚
抜き出す場合である。(k=2,3,...,n-1
それぞれの値が, a, b, c のいずれかに対応するから,
その場合の数は 3! 通りずつある。
よって,このようなカードの抜き出し方の総数は
11nk C1×3!= 6(k-1)(n-k) (通り) (
これは,k= 1, nのときも成り立つ。
(イ)規則 (ii)で2枚が重なり得点がんとなるとき
んが書かれたカードを2枚,
ん以外の数が書かれたカードを1枚
抜き出す場合である。 (k= 1,
2, ...,n)
んが,a,b,c のいずれか2つに対応するから,その
426
場合の数は 3C2通りずつある。
抜き出し方は C1 通り。
抜き出し方は C 通り。
となることはな
k=1n
い。
=1n のときは 0通り
となり,k=1,mとなる
こと
から成り立つ
といえる。
抜き出し方は通り。

2
よって,このようなカードの抜き出し方の総数は
1C1X3C2=3(n-1) (通り)
(ウ) 規則 (ii) で3枚が重なり得点がんとなるとき
kが書かれたカードを3枚抜き出す場合である。
(k=1, 2, ...,n)
よって,
このようなカードの抜き出し方の総数は
1通り
(ア)~(ウ)より,k=1,2,…,nにおいて
=6=c=kである。
特講
Pk =
6(k-1)(n-k)+3(n-1)+1
na
-6k²+6(n+1)k-3n-2
n³
6
(2)(1)
Þk =
n³
5{k2-(n+1)k}- 3n+2 o
n³
2次関数と見
6
+12
なす。
n³
+
3m²-1
2n3
14
図で考える
kは自然数であるから
n+1
が最大となるにはk=
2
nが奇数
nが偶数
が奇数のとき
nが偶数のときが最大となるんはk=
n n
n+1k
2
k
2'2
2+1
n
1 +1
n+1
6
2
Point...文字で表される確率
章
17
文字で表される確率の問題では,文字に簡単な数を代入して答が正しいかを確認すると
よい。 例題 234 で考えてみよう。
n=3, k=2を (1) の答に代入すると
2
-6・22+6(3+1) ・2-3・3-2
13
3327)
一方,1,2,3が1つずつ書かれた3枚のカードがあるとき, 得点が2となるのは,抜
き出すカードの組合せが (1,2,3), 1,2,2) (2,2,2,2,2,3) となる場合であ
3! +3 + 1 + 3 13
る。 a, b, c の対応を考えると,その確率は
33
よって,値が一致していることが確かめられる。
27
1 いろいろな確率
このように、具体的な値で試してみることで, 計算ミスを減らすことができる。
練習 234nを3以上の自然数とする。 1からnまでの数が1つずつ書かれたn枚のカー
ドがある。これらn枚のカードから同時に3枚のカードを取り出し, 書かれて
いる3つの数を小さい方から順に並べかえ, X<Y<Z とする。 kは1≦k≦n
を満たす自然数として,次の問に答えよ。
(1) Zkとなる確率 P(Z=k) を,n, kを用いて表せ。
(2)Y=kとなる確率 P(Y = k)を,n, kを用いて表せ。
(3)Y=kとなる確率 P(Y=k) が最大となるkを, nを用いて表せ。
(中央大 改 )
427
446 問題234

Answer 1

和

カードがn=5枚、得点がk=4点の場合…
カードの引き方の総数は5³通りです
k=4点となる引き方を求めます

・規則1で4点の場合
「3以下のカード、4のカード、5以上のカード」
を引く場合です
順序（数をa,b,cに割り当てる）も考慮します

・規則2で4点の場合
「4のカード、4のカード、4以外のカード」
「4のカード、4のカード、4のカード」
の2つの場合があります
これも、順序に注意です

場合分けしたので（これらは排反なので）
足すだけで済みます

このように、具体的な数だと、
大したことをしていないのがわかると思います
これを一般のn,kでやるだけです

「思考のプロセス」が有効です
だいぶしっかりまとまっている印象です