ベクトルの内積
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例題 C1.16 内積とベクトルの大きさ(5) ****
一点A(p, g)が円 x2+y'=1上を動き, 点B(u, v) が円
(x-2)+(y-2)=1 上を動くとき,pu+gu の最大値と最小値を求めよ.
考え方 OA=p,g), OB= (u, v) とおくとal
pu+gu=OA・OB=|OA||OB|cos0 0 は OÃとOB のなす角)
www
となる.また,OA| =1である.HAO
したがって,pu+gu の範囲を調べるには,|OB|. cosd の範囲を調べればよい。
解答
原点を0.0A=(p,g), OB= (u, v) OAとOB のなす
角を0とすると
YA
C(2,2)
B(u, v
pu+qv=OA・OB=|OA||OB|cos o
10 ここで, 点は円x+y=1 上の点であるから,A(p,91
|OA|=1
したがって
pu+gu=|OB|coso...... ① Ania 50-A0
点Bは半径1の円 (x-2)2+(y-2)²=1 上を動くから,
|OB| が最大・最小となるのは,原点0円の中心(2,2),
点Bが一直線上に並ぶときである.
したがって,
OC-1≦|OB|≦OC +1
ここで,OC=√2°+2°=2√2 より,
2√2-1≦|OB|≦2/2 + 1 ..... ②
また,A,Bはそれぞれ円上を動くから0°≧≦180°
-1≤cos 0≤1
③
したがって、②③より,pu+qv=OB|cos0 の
最大値 2√2+1 (cos0=1, |OBI=2√2+1 のとき)
最小値 2/2-1 (cos0=-1,|OB|=2√2+1 のとき
0 1
点 B が直線 OC と
(x-2)2+(y-2)^=
の2つの交点のう
遠い方の点のとき
大となり, 近い
点のとき最小とな
なす角は 0°≧≦
で考える.
注> シュワルツの不等式 (pu+qv)'s (p+g) (+)を利用して解くと、次のよう
る。
点Aは単位円上の点より,p+g=1であるから,(pu+quisito
したがって,
-√u²+v≤pu+qv≤ 0
点B(u, v) は円 (x-2)+(y-2) =1 上を動くから,
びが最大となるの
円の中心 (22) 点Bが一直線上に並ぶときであり、
