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分解すると
He has nobody→彼は誰もいない人を持っている
みたいになりますが、どんな人がいないのかを考えると
「世話すべき⇒人」となり、nobodyを「世話すべき」で修飾している文だと分かります。カッコがnobodyの後ろにあるので後ろから修飾する形(後置修飾)となりますが
最も簡単な後置修飾が不定詞(形容詞的用法)です。
例) 「読むべき⇒本」a book to read
「私を手伝う⇒人」someone to help me
これにのっとって考えると
nobody to 世話する
の順番になり、toが最初のカッコを埋めるので
残りは２つということになり、２語で「世話する」は
look after、ということで答えは
to look afterとなります。
「世話する」は一番有名なのがtake care ofですが
３語なので不適切となります。
もしこの問題でtake care ofを入れたらどうなるかですが
He has nobody take care of.ではhasとtakeの「動詞が２つ」状態となり、言ってみれば１人の人間に心臓が２つある状態ですからダメです。
I have a friend help me.がダメなのと同じです。
どうして to が必ず来るのでしょうか？