Question

りんご

(4)についてなのですが、xの範囲をAQで絞っているのですがどのように考えればそうしようと思うのですか？

[II] 次の
あと い にあてはまる数と,
か
に
あてはまる式を求め、最終結果のみを解答用紙の所定の欄に記入せよ。
△ABCにおいて AB = 3, AC = 2 とする。 辺BC 上の点O を中心とする
円 S が,辺 AB と辺 AC のそれぞれと,頂点 A, B, Cとは異なる点で接し
ているとする。円 S と辺AB の接点をPとし,r=sin ∠OAB とおく。
字を解
(1) AO
=
あ AB +
い Aである。
2桁の
(2) BCをェの式で表すとBC = う である。
(3) OP の式で表すと OP =
え
である。
(P)にしてん
(4)のとりうる値の範囲は
おで
である。
は単位である。
(5) OP のとりうる値の範囲は
か
である。 実

2|5
II
解答
[( 1 ) あ.
い.
3-5
0
D
(2)5. √24x²+1 (3). 12x√1-x²
√6
6
5
(4) お. <x<1 (5) か. 0<OP≤
6
50
解説
《平面ベクトル, 2倍角の公式, 2次関数の値域》
(1)円 S と辺 ACの接点をQ とすると,
斜辺と1つの辺が等しいから
△OAP =△OAQ ゆえに
∠OAP = ∠OAQ
よって, 直線 AO は∠BACの二等分線
であるから
BO:CO = AB: AC=3:2
>0<
sin∠OAB=x
3
したがって
AO=
2AB+3AC=AB+
5
5
AB+2/3AC
2/AC→あ、い
5
0

(2)
BC2=|BC|=|AC-AB|=|AC|+|AB-2ABAC
|AB|=3, |AC|=2
∠OAB=0 とおくとx=sin0 であるから
AB.AC=|AB||AC|cos <BAC
よって
=3・2cos20=6(1-2sin20)=6(1-2x2)
BC2=32+22-2×6 (1-2x2) =24x2 + 1
BC>0より
BC=√24x2+1 →う
(3) AO = AB+ AC & D)
=
AO-IAOF - AB+ AC-IAB+ AC+AB-AC
このとき, AP=AQであるから
これは0<AP<3 を満たす。
-<x<1 →お
0<AP<2
√6
よって
6
したがって,円Sは辺ABと頂点A,Bとは異なる点で接している。
(5)(3)より
12
12
OP=
12
5
5
<<<1である。
6
10 Tel
9
x=t
とおき/K1のとき
1
4
=
5
25
36 36 72
144
(1-2x²)
y=(-1/2) + 1/12 のグラフは右図のよう
36
=
(1-2)
252525
25
ゆえに
AO=1/2 √1-x³
(1)
Ⅱ
になるから 0<y≤
1
4
12
よって OP=AOsin0= xv1-x2 →え
(c) (+ .cr
0
したがって OP のとりうる値の範囲は
→か
5
12
-16
(4)は三角形の内角であるから, 020 より << 2
すなわち
III
解答 (1)き. 2-2√2-1-2+2/2
cos0 >0,0<x< 1 ...... ①
く. -2-2√2-2 +2/2
ゆえに
AQ=AO cos 0=AO√1-sin '0-12 √1-x'√--(1-1)
13
(2).4x+5 (3) こ.
27/17
1 + √65
(4)さ.
12
17
2
=
点Qは,辺 AC上の点であり、点ACとは異なるから GAD-
5
5
解説
<AQ<2 これより<= (1-x°) <2... ②
① ② より
*10*+-+60
√6
①より よく
6
《関数の極値変曲点 点と直線の距離, 接線》
(1) 関数f(x)の定義域は x≠0
f'(x) = 2x + 10--
8_2 (x3+5x2-4) 2(x+1)(x+4x-4)
2
よって、f'(x) =0を満たすxは
x=-1, -2±2√2
関数f(x)の増減表およびグラフは次のようになる。

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

きらうる

PはAB、QはAC上にあり、それぞれCやBとは違う点なので、0<AP<3、0<AQ<2、が言えますよね。
(3)でOA,OPの長さを求めているので、APの長さをOPとcosθを使って求めたわけです。
ただ、OP=OQであり、範囲が狭いのはOQの方なので、解説は最初にAQの長さで範囲を作ったという流れでしょうか。

りんご

なるほど！まだ気になることがあるのですが、xの範囲を求めるのに、AQの長さの範囲を使うという発想ができないのですが、どのように考えれば良いのでしょうか？伝わりづらかったら申し訳ないですm(_ _)m

きらうる

問題としては、x(sin∠OAB)の範囲を求めたいわけです。(3)で、OA、OPの長さも出しました。となると、使えそうな図形は、△OAPということになります。
あとは、Pの条件はどうだったか、問題に戻ってみると、AB上にあることから、APの範囲を作れないか、という発想に至るわけです。

りんご

なるほど！納得しました！丁寧に教えていただきありがとうございました！