Question

むにゅたん

なぜ(3)で1/2で場合分けするのか分かりません。教えてください🙇‍♀️

特講
例題
121 ガウス記号を含む方程式
次の方程式を解け。ただし, [x] は x を超えない最大の整数を表す。 実
(1) [2x] = 3
(2) [3x-1]= 2x
X(3) [2x]-[x] = 3
≪ReAction ガウス記号は,n≦x<n+1のとき [x]=nとして外せ 例題120
(1)(2)はガウス記号が1つ
[x]=nのときn≦x< n+1 として外す
(3) はガウス記号が2つ
T
お
場合に分ける
[x] J
[2x]
幅1ごとに値が変わる
一般にこの部分で考えてみる
1
12
0
12
1
32-
2
nn+
1-2
x
n+1
思考のプロセス
x
幅ごとに値が変わる
2
(ア)(イ)
3
2章 9

e
Jei
[
(ア) n≦x<n+ 1/12(nは整数)のとき
2n≦2x<2n+1 であるから
[2x] = 2n
また,[x]=nであるから,②は2n-n=3
xを幅 1 で場合分けす
る。
よって n=3
7
ゆえに 3≦x<
2
(1) n+/1/1≦x<n+1(n は整数)のとき
2
$30 1+
2n+1≦2x<2n+2 であるから [2x] = 2n+1
また,[x] = nであるから,②は (2n+1)-n=3
よって n = 2
5
ゆえに
≦x<3
2
その
5
(ア)(イ) より
≤x<
2
72

Answer 1

和

ReActionに書いてあることについての理解は
どうなんでしょうか？
わかりやすい図示だと思います

様子をつかみます

たとえばx=3なら2x=6で、[2x]=6です
x=4なら2x=8で、[2x]=8です
xが整数だと、2xは偶数なので、
[2x]は偶数です

xが整数でないときを見ます

xを2倍したときに、
ある整数値以上になるかどうかは、
xが整数+0.5 (整数+(1/2))以上
になるかどうかにかかっています

たとえばx=3.4なら2x=6.8で、[2x]=6です
x=3.5なら2x=7で、[2x]=7です
3.5未満か3.5以上かで差がつきますね

nを整数、rを0≦r<1の数として
x = n+rと表せるとき、
2x = 2n+2r (0≦2r<2)です

2nは整数なので、
[2x] = [2n+2r] = 2n+[2r]
です
2r (0以上2未満)が1と比べてどうかが問題です
0≦2r<1なら[2r]=0です
1≦2r<2なら[2r]=1です
つまり
0≦r<1/2なら[2r]=0です
1/2≦r<1なら[2r]=1です

まとめると、
x = n+r (0≦r<1/2)か
x = n+r (1/2≦r<1)かで場合分けします
つまり
n≦x<n+(1/2)か
n+(1/2)≦x<n+1かで場合分けします