Question

りんご

(2)についてなのですが、二枚目の写真までのところは出来たのですが、文字の範囲は常に気にしているつもりでも、3枚目の最初の行のlzlの範囲には気づきませんでした。どうすれば気づくようになりますか？

183.
1
複素数平面上の原点以外の点zに対して, w=
とする。 mie+
Z
8
αを0でない複素数とし, 点αと原点Oを結ぶ線分の垂直二等分線をLとする。点
が直線L上を動くとき, 点wの軌跡は円から1点を除いたものになる。この円の
心と半径を求めよ。
1の3乗根のうち,虚部が正であるものとする。 点と点2を結ぶ線分上を
点zが動くときの点wの軌跡を求め, 複素数平面上に図示せよ。
[17 東京大理系

この条件を満たす点z全体を図示すると,
右の図の太線部分のようになる。
183 〈直線上を動く点zとw=f(z) の表す図形〉
12
◆zキ-10 に注意。
(1)2点A(a),B(B) を結ぶ線分ABの垂直二等分線上の点ぇは,|z-α|=|z-B を満たす。
(2)1のn乗根を表す複素数 Zk は
2kπ
2kπ
2k = COS
+isin
n
1の3乗根で虚数は COS-
2π
2π
+isin
と COS
3
3
n
(k=0,1,2, ...., n-1)
os 4/+isink (sin1/3x<0)
3
3
(1)直線Lは点αと原点Oを結ぶ線分の垂直二等分線であるから,
L上の点zは,次の等式を満たす。
|z-0|=|z-α|
すなわち
||=|z-a|
1=
20であるから,両辺を|2| で割ると1-1-2 |
w=1/2 を代入して
Z
|a|≠0 より
|1-qw|=1
|a||w———||= 1
w- =1
◆L上に原点はないから
z=0
←low-1|=1から
||a (w−−1)| = 1
1
すなわち
w-
①
ゆえに、点wの軌跡は円①から
原点を除いたものである。
0
よって,円 ①の中心と半径から,
1 that
a
中心 半径
βは1の3乗根で,虚部が正で
あるから
cos/x+isin/1/x=12+2i
√3
cosx+isin+7=-1√3
=COS
2 2
よって、2点B,B2 を結ぶ線分上
この点は,実部が の複素数
2
で、その絶対値は1以下である。
ゆえに,点zは点-1と原点 0
を結ぶ線分の垂直二等分線上にあ
るから (1) = -1 とすると,
点wは中心-1, 半径1の円から
原点 0 を除いた図形上にある。
w0 であるから,点wは
原点0に一致しない。
yA
0
/1x
◆x3=1の虚数解は,
x2+x+1=0 の解。
これから求めてもよい。
B2も1の3乗根。
川
◆原点と線分上の点zの距
離は、円の半径以下。
垂直二等分線に気づけば,
(1)の結果が利用できる。
BI
(p+qm-1
B2
数学重要問題集(理系)
169

一方,|z|≦1であるから
YA
B 1
≦1 すなわち w≧1
W
したがって, 求める点wの軌跡は,
中心 -1, 半径1の円のうち、
-2
0
ilx
|w|≧1 を満たす部分で, 右の図の
太線部分のようになる。
B2
-1

Answer 1

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GDO

例えば、
（１）では、直線上
（２）では、線分上（範囲がある）
この語句の違いに気づく(何かが違う？）と、
範囲の違いに気づくようになると思います。

線分の範囲をよくみると1/2≦|z|≦1になってます。
⇒ 1≦|w|≦2

りんご

なるほど！納得しました！！お二方とも回答ありがとうございました！

Answer 2

フラッグ

βは1の3乗根だからβ^2も1の3乗根ですね(忘れていたら1の3乗根の性質を復習して下さい)
ということは点βも点β^2も、原点中心、半径1の円周上にありますね。点βと点β^2を結ぶ線分上に点zがあるのだから、｜z｜≦1が成り立ちます(3枚目の画像の図をよく観察し、必要に応じて今まで話したことを書き込みなどしてみて下さい)夜遅くごめんなさい🙇‍♀️

りんご

回答ありがとうございました！