Question

いちご

練習62のやり方で基本例題59、60も証明できますか？もしできた場合、どのように証明するか教えて頂きたいです。

練習 命題「整数nが5の倍数でなければ,nは5の倍数ではない。」が真であることを証明せよ。
また,この命題を用いて5は有理数でないことを背理法により証明せよ。
③ 62
整数nが5の倍数でないとき,たを整数として、対偶を考えると、
n=5k+l(l=1, 2, 3, 4) とおける。 このとき
n2=(5k+1)=25k+10kl+L2
=5(5k2+2kl)+12
ここで, 5k2+2kl は整数である。
「んからの倍数ならば、整数に
となり、が5の倍数
証明するのが
また, には 1, 4, 9, 16 のいずれかであるが,どれも5の倍数でよってそのまま対偶を
ない。
ゆえに n は5の倍数ではない。
← (5の倍数)+( 5の倍数
でない数の形の数は,
5の倍数ではない。

基本 例題
59 対偶を利用した証明 (1)
0000
n は整数とする。nが3の倍数ならば,nは3の倍数であることを証明せよ。

基本 例題
60 対偶を利用した証明 (2)
00000
対偶を考えることにより,次の命題を証明せよ。
整数a,bについて,積abが3の倍数ならば, αまたは6は3の倍数である。
[東京国際大]
基本59

証明

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

和

「練習62のやり方」というほど
62は特殊なことはしていません
余りをl (l=1,2,…)とおいているところでしょうか？
これは、場合分けをまとめて書いている、
「工夫」程度のことです

59も対偶法によって
n=3k+1, n=3k+2のように分類していると思います
これをn=3k+l (l=1,2)のように書くことは可能です
しかし、たかだか2つの場合分けを
まとめている程度なので、
大して変わりはありません

60も同様です

いずれにしても、59や60は
複雑なn²の話から、簡単なnの話へ
という流れがあるので、
対偶法や背理法によって
nの話からスタートさせるのが簡単、
ということですね

いちご

60は4つも場合分けがあるので、62のように場合分けをしたらどうなるのか教えて頂きたいです。

和

a=3k±1, b=3L±1とおいて
ab=3(……)±1とするのも簡潔です

いちご

abを3で割った余りがr1r2を3で割った余りに一致するのはなぜですか？

和

ab = 3( …… ) +r1r2において
3( …… )は3で割り切れるのだから、
abを3で割った余りは
r1r2を3で割った余りのみに依存しますね

たとえば
ab = 3K +1だとしたら、
abを3で割った余り = 1を3で割った余り
です

ab = 3K +4だとしたら、
ab = 3K +3×1 +1 = 3(K+1) +1なので、
abを3で割った余り = 4を3で割った余り
です

いちご

ありがとうございます！