Question

Ｙ

写真の問題の解説でやっていることがさっぱりわからないので教えてください

x=2(mod3)、x=3 (mod5)、x=2 (mod7) を同時に満たす整数x を求めよ。

x=2 (mod3) かつ x=2 (mod7) より x=2 (mod21) これと x=3 (mod5) を考える。
21≡1(mod 5) だから 3-2 =1 より x=2+21=23 (mod105)
... x=105n+23 (nは整数)

Answer 1

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Q&A専

①xが3で割っても7で割っても余りが2になるので、xは21で割っても余りが2になる。
実際の式で考えるとx=3a+2,x=7b+2のときx-2=3aとx-2=7bにできて、両辺掛け合わせると(x-2)^2=21abでこれはx-2が21の倍数にならないとおかしいので、x-2≡0 (mod 21)よりx≡2 (mod 21)

②≡の値が異なるとき
x=21c+2の5で割った余りを考えると
x=5×4c+ c+2からc+2の部分が余りになるので、ここが5n+3(c+2が5より大きくなる場合も考えて)になる必要がある。なのでc=5n+1になりこれを最初の式に入れて
x=21(5n+1) + 2 = 105n + 23