Question

はる

お願いします🙏🏻 ̖́-

9 [倉敷芸術科学大 ]
数列1+
14/1/23+12/15+1/1/27+1/16
の第n項までの和を求めよ。

Answer 1

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フラッグ

分かりにくいところはお尋ねください🙇

はる

ありがとうございます🙇‍♀️

Answer 2

mo1

参考・概略です

●１つの項を前半、後半の２つのまとまりとして捉えます

ⅰ一般項を考えると
　　①1，3，5，7，・・・は
　　　1，1＋2・1，1＋2・2，1＋2・3，・・・で
　　　　初項1，公差2である、等差数列

　　②1/2，1/4，1/8，1/16，・・・は
　　　　(1/2)，(1/2)²，(1/2)³，(1/2)⁴、・・・から
　　　　(1/2)，(1/2)・(1/2)¹，(1/2)・(1/2)²，(1/2)・(1/2)³、・・・で
　　　　　初項(1/2)，公比(1/2)である　等比数列

　よって、
　　　1＋(1/2)，3＋(1/4)，5＋(1/8)，7＋(1/16)，・・・の
　　一般項は
　　　1＋2(n－1)＋(1/2)・(1/2)ⁿ⁻¹
　　　＝2n－1＋(1/2)ⁿ　と表されます

ⅱ第n項までの和を求めると

　　①等差数列の和の公式を用いて
　　　　(1/2)n{1＋(2n－1)}
　　　＝(1/2)n{2n}
　　　＝n²

　　②等比数列の和の公式を用いて
　　　　(1/2){1－(1/2)ⁿ}/{1－(1/2)}
　　　＝(1/2){1－(1/2)ⁿ}/{(1/2)}
　　　＝1－(1/2)ⁿ

ⅲ数列どうしの和として,①＋②を考え
　　　n²＋1ー(1/2)ⁿ

簡易確認
n＝1，　　　　1＋(1/ 2)＝ 3/ 2，1²＋1－(1/2)¹＝ 3/ 2
n＝2，( 3/2)＋3＋(1/ 4)＝ 19/ 4，2²＋1－(1/2)²＝ 19/ 4
n＝3，(19/4)＋5＋(1/ 8)＝ 79/ 8，3²＋1－(1/2)³＝ 79/ 8
n＝4，(79/8)＋7＋(1/16)＝271/16，4²＋1－(1/2)⁴＝271/16

はる

ありがとうございます🙇‍♀️

Answer 3

𓆡

Σ[k=1,n,(2k-1)+(1/2ⁿ))]
=Σ[k=1,n,2k-1]+Σ[k=1,n,1/2^k]
=n²+1-(1/2)ⁿ

はる

ありがとうございます🙇‍♀️