Question

あああああ

38(1)、(2)について
おそらく上の例題のように解くのですが、解き方や途中式、なぜそのような場合分けをするのか分からないので教えて頂きたいです💧‬

例題 |x|<1のとき
1
1 x
=1+x+x2+…+x" +·
n=0
が成り立つ。このことを用いて、関数(1-エ)
を収束する数
解
an (N
または は整数)の形で表せ。
n=N
n
X
(i)0<|x|<1のとき
1
-
x(1-x) IC
8
n=0
(ii)| |>1のとき|1|
1
x(1-x)
x
2
x"
=
n=0
<1だから
1
-
=
8
n-1
IC
==
で
n
x'
n=-1
8
IC
--
n=0
X
+2
クレー
∞
n=2
-1
I
T
8
n=0
n
*
n=N
anx"
38 次の関数を収束する級数 a
(1)
x²
1+2
n=N
anz または
(2)
8
n=N
an
n
1+x
(N は整数) の形で表せ.
x(1-x)

-1
2n
38 (1)|x|<1のとき Σ(-1) "122",
n=1
0
| |>1のとき X
n=0
(-1)n
1
n
(2)0 <|x|<1のとき +
|x|>1のとき
1
x
X
+
n=0
2
2x",
-2
xn
n=2

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

哲治

(2)は1/x(1-x)+x/x(1-x)と見れば、上の例題まんまなんで省略します。
(1)は|x|<1
x²×1/1-(-x²)と見ればよい。
|x|>1
分子分母をx²で割って、
1/1-(-1/x²)と見ればよい。

あああああ

解けました！ありがとうございます😭
場合分けに関しては、-1<公比<1となる場合とならない場合に分けて、後者の場合は公比を1/xなどにして-1<公比<1となるように式変形して、和が収束するようにしているということでしょうか？

哲治

そうです。
無限級数の和の公式が使える形に持っていくのがポイントですね。

あああああ

なるほど！ありがとうございます😭