Question

かなかな

この問題の①なのですが、コサインで表してこの答えになったのですが、サインじゃなきゃいけないのでしょうか。またコサインでもよかったら合ってるか間違ってるかを教えていただきたいです。

R9
PR
③ 148
π
極座標が (1, である点を通り,始線OX に平行な直線上に点Pをとり,点QをOPQが
正三角形となるように定める。 ただし, OPQの頂点 O,P,Qはこの順で時計回りに並んでい
るものとする。
(1)点Pが直線l上を動くとき,点Qの軌跡を極方程式で表せ。
(2)(1) で求めた極方程式を直交座標についての方程式で表せ。

19
PR
③ 148
極座標が (1,2)である点を通り始線OXに平行な直線上に点Pをとり,点QをOPQが
正三角形となるように定める。 ただし, △OPQの頂点 0, P, Qはこの順で時計回りに並んでい
るものとする。
(1)Pl上を動くとき,点Qの軌跡を極方程式で表せ。
(2)(1) で求めた極方程式を直交座標についての方程式で表せ。
(1) 点Pの極座標を (s, α), 点Qの極座標を(r, 0) と
する。
点Pは直線上にあるから
ssina=1
①
△OPQ は正三角形で, 3点0, P, Qはこの順で
P(s, α)
(1, 1)
2
3
Q(r, 0)
時計回りに並ぶから
π
OQ=OP, ∠POQ=
よって
(r. 8)-(s. α-)
π
a-
3
ゆえに
(s, a)=(r, 0+
π
(0)
3
r
①から sin (+)-1
よって,点Qの軌跡の極方程式は
rsin (0+7)=1
(2)(1) から, 極方程式の左辺を加法定理を用いて展開すると
(sinocos + cosOsin-1
π
✓
3
3
すなわち 1/12rsino+
1/2rsino
√3
rcos
-rcoso=1
2
rcos0=x, rsind=y を代入すると
よって, 求める方程式は
√3x+y=2
2y+
√3
2
x=1
0
◆ s, α を消去する。
sin(a+β)=
sinacos β+cosasin β

練
例148
4
(1)
の、
1773
0
P=(s,α)
Q (r. 0) 23
OH = SCOS <Pol.
OH. = scos (a)
(= scos (α-)
πc.
(nd) = (s, α- 35 - 5
I
5
0=α-5π
(við) = (s, α-a) reos (6+) = 1. //
(S, α) = (r, 0+ a.)

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

きらうる

sinθ＝cos(π/2-θ)より、
sin(θ+π/3)＝cos(π/2-(θ+π/3))
　　　　　＝cos(π/6-θ)
ならあっていますが、あなたの答えだとあっていませんね。

どこが違っているかというと、OHの式から違っています。
OH＝s・cos∠POH
　　＝s・cos(π/2-α)
→　1＝s・cos(π/2-α)

(r,θ)＝(s,α-π/3)
→　(s,α)＝(r,θ+π/3)
から、
1＝s・cos(π/2-(θ+π/3))
　＝r・cos(π/6-θ)

なら良いかと思います。

かなかな

回答ありがとうございます。
π/2-aがOHの角度の時とPがHを超えた場合a-π/2の角度になると思うのですが、なぜπ/2-aなのでしょうか。

きらうる

あなたの図を借りると、∠POHはπ/2-αになってませんか？

解答の図では、∠POH＝α-π/2になります。

なぜこの違いができるかというと、αが90度より小さいか大きいかによります。
あなたの図では、αは90度より小さく、解答の図では、αは90度より大きいのです。これによる違いです。

かなかな

この点Pは直線l上を動くのでどちらの場合も考えれると思い簡単そうな方を図示したのですが間違ってますかね。

きらうる

間違ってないですよ、考え方は。
ですが、この回答の最初に示したように、
OHの式が違っているので、答えも違ってしまっています。

かなかな

すいません。返信遅くなりました。
OHの式のどこが間違っているのかが、いまいちわからないのですが、どこでしょうか。

きらうる

写真に追加しました。
ちなみに、三角比の性質を使って式変形すると、
cos(π/2-θ)＝sinθ
が成り立ちますので、
最後から2番目の式である
1＝r・cos(π/2-(θ+π/3))
→　1＝r・sin(θ+π/3)

と書き替えることができるので、
答えの極方程式と一致します。

かなかな

ありがとうございます