Question

あああああ

(1)です。
・矢印部分の式変形
・なぜそこからその式が求められるのか（下線部）
・なぜこの式から解が得られると分かるのか（下線部）

が分からないので教えて頂きたいです💧‬
問題の意味もあまり理解できていないので教えて頂けると嬉しいです😭

例題 2階線形斉次微分方程式
d²x
dx
dt2
+p(t).
+g(t)x=0
dt
の1つの解をπ(t) とする. このとき,次の問いに答えよ.
(1) x2(t) = x₁ (t) | e¯ ½ v(t)
dt
das (t) 2dt によって,もう1つの解πュ(t) が得ら
れることを証明せよ.
(2) π1(t), π2(t) は線形独立であることを証明せよ.
.......

(1) 定数変化法により,π=ux(utの関数とおくと
dx
dt
-
du
d²x d² u
dx₁
dt
dt
du dx, d'a
=
-x₁+2-
+u
dt2
dt²
微分方程式に代入して
dt dt
dt²
d² u
du da,
d'²x₁
x1+2-
+u.
dt2
dt dt
dx
dt²
+p(t) dt
dx₁
dt²
+g(t)x1 = 0 だから
dt
+ P(t) (dux, + u dr² ) + q(t)uz, = 0
dx,
dt
d² u
du dx,
x1+2.
dt²
dt dt
du
+p(t) x₁ =
= 0
dt
du
=v とおくと
dt
dv
x₁ = v
dt
?
1 dv
v dt
これから
v=e
-v (p(t)z₁ + 2 d
+2)
=-p(t) - 2 d
e-/p(t) dt/
-2
x1
x₁ dt
よって, 解 x2(t) が得られる.
dt
)
= p(t)-(2 log|2)
h

微分方程式

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

哲治

変数分離形で両辺積分してるだけ。
途中で合成関数の微分と見てる部分ありますので。

あああああ

分かりやすいです😭ありがとうございます。

すみません、追加で質問失礼します。
なぜここから解が得られると証明できるのでしょうか？

哲治

まずお話の前提として一つの解x1がわかっています。
残るもう一つの解x2をすでにわかっているx1を使って表しなさいというのが本問です。
そしてその残るもう一つの解を定数変化法でx2=ux1として置きます。
これを与えられた微分方程式に代入して
(x2を与式に代入しした微分方程式)=0
を作ります。
この式の表してることは元々の微分方程式の解としてx2が解になってるということですね。
後はテキストのように式変形してx2がx1で表されるように整理したものが答えですよね。

あああああ

x2=ux1のuにあたる部分を今は求めてたってことですね！ありがとうございます。