Question

松野千冬

私の解答の⑶と⑶別解で
ₙ
　Σ k/2ᵏ の式が違うのはなぜですか
ᵏ⁼¹

EX (1) 和 1+x+x++x" を求めよ。
@53(2) (1) で求めた結果をxで微分することにより, 和 1+2x+3x²+...
+ nx-1を求めよ。
(3)(2)の結果を用いて,無限級数の和を求めよ。ただし,lim=0であることを用い
てよい。
n=1 2n
11-400
[類 東北学院大 ]
(1) x=1のとき, 求める和は初項 1. 公比xの等比数列の初項か←公比1. 公比=1で場
ら第n+1項までの和であるから
合分け。
1+x+x+....+x=-
1-xn+1
1-x
.. ①
x=1のとき 1+x+x+......+x"=n+1
←
(初項){1-(公比) 項数 }
1 - (公比 )
←1x(n+1)
(2) x=1のとき, ①の両辺を xで微分すると
1+2x+3x²+......+nxn-1
-(n+1)x"(1-x)-(1-x"+1)・(−1)
←(x)=x
0-1
=
(*)
(1-x)2
←(1/2)=2
u'v-uv
v²
よって
1+2x+3x2+ … +nxn-1.
=
nxn+i−(n+1)x +1
(1-x)2
② ←(*)の右辺の分子を整
理。
x=1のとき
2
3
n
22
2n-1
1+++ +-+1+1)
=
両辺を2で割ると
1+2x+3x2+･･ ·+nx"-1
=1+2+3+....+n= n(n+1)
(3)x=1/12 を ②の両辺に代入すると
n
←の公比部分は
1/2であることに注目し、
x = 1/23 を代入。
x=
12+2/+2
3
n
n
+・ +
23
k=
すなわち (77
k
n
n+1
=2
2n+1
+1)
ゆえに
k=12k
n
よって
2"
n=1
n
2"
n
2012/2/2+1)
k
limlim(+1)-2 (1-0-0-0+1)
=2
7=2(2711-2+1+1)
2n
←部分を求めた
ことになる。

53.
類 東北学院大
S
S=1+x++…+x=
S=1+22+39²+
(1) 1+ x + x²+ ... + x = x
(2)
1-21
S=1+22+ 3+ x = (n+1)x(x+)-(21)
(オーリン
7=1 442. S'= 1+ 2+ 3+ + n = \/\n\n+)
=
1-X (471)
1-x^*1
x
=
レース
とすると
2-1
nel
-
nz (n+1)x+1
(1-1)2
(!)
(3)
無限級数の和
= lin
n=1
ここで、8=
2
+
47
1+1+1/
= 2-
+
1s/s
S
+1
ただしDim
878
S
S
=
①において、
835
k=1
80
= lien (2-1) = 2
(土)
= 2
=20
n=1
(3)別解
(2)9 (21) 5' = \+27+37²+~+hxy=
nx
0
C
=4
+
=
+
+1
+
(+1)x+1
(オートウェ
2 (21-1+1) = -
1 1/2 = 1 +2 =
lin
578045
2
(より)
2
nal
2
244 +2
24-1 + 2