Question

なごみ

(1)についてなのですが、p＝0が必要条件かそうでないかの見分け方が分かりません。また、(2)の最後の行でも、十分性について確認してるのですが、(1)よりと同じ形なので必要十分条件をまとめて(1)よりで良いかと思ったのですが、書いた方がいいですか？回答よろしくお願いします！

考えること
例
すべての整数 m に対して
m²-m-1
pm がつねに整数となるよう
な定数 p を求めよ.
-95-14
(2) a, b を定数として, 多項式 f(x) を
10)=8.180
f(x)=x4+ax2+bx-a-2
によって定義する. すべての整数に対して
f(m) がつね
m2-m-1
に整数となるための必要十分条件を a, b を用いて表せ.
(M) (1) m (>0)***<l<n<&)+)n(In) =
(mm) p
h)(I-n)(Sn) =
〔北海道〕
m2-m-1
1枚のだから、2
m- -1-
+
m
の分母はいくらでも大きくなるので, | ① | の値はいくらでも小さくなる.し
たがって,「すべてのm > Nについて|①|<1」 となる N がある.また
|①| は整数だから,このとき ① = 0 すなわち p=0である (必要).p=0
のとき ① = 0だから条件をみたす (十分)ので, 求める p p=0.
(2) f(x) をx-x-1で割ることにより,
f(x) = (x2-x-1)(x2 + x + a + 2) + (a + b + 3)x
さ
f(x)
(a + b + 3)x
=x+x+a +2 +
②
x2-x-1
x2-x-1 (I
(1-x2-x-12
とかける.
78
x が整数のとき②が整数となるならば,とくに x = 0 としてa+2は
整数,すなわち q は整数である.また,このときすべての整数x に対して
(a+b+3)x
x2-x-1
が整数なので(1)からa+b+3=0である (必要)
逆にaは整数でa+b+3=0のとき, ②から条件は成り立つ (十分).
以上から,求める必要十分条件はαは整数かつa+b+3=0
ロ

Answer 1

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和

(1)「m>Nとなるすべてのm」という特殊なmに対して、
求める条件はp=0です
それ以外のmに対してもp=0が求めるもの、
かどうかはまだわかりません

つまり、すべてのmに対して成立 ⇒ p=0
（すべてのmに対して成立するとしたら、
　0以外のpは脱落する(0は一応残っている)
　↑「それ以外のm」に対してp=0がOKか
　チェックしていないので、
　0が最後まで残るかはまだ不明）
なので、p=0は必要条件です

本来の条件 ⇒ ○○ ⇒ …… ⇒ ☆☆
のように話を進めるとき、
☆☆はもとの条件の必要条件です

(2)同じでないところも多く、
いきなり(1)より必要十分条件が書ける、
とは思えません

なごみ

回答ありがとうございます！前半の部分理解できました！後半の部分について確認させて頂きたいのですが下の写真の赤線のところは省略してはいけないということで合ってますか？

和

(2)の解答の2段落目（xが整数のとき〜）から、
すでに必要条件を求める作業が始まっています

模範解答のように書き始めたからには、
おいそれと(1)のように省略して書こうとするのは
かえって気をつかうことになりそうです

なごみ

なるほど！わかりました！回答ありがとうございました！