Question

なごみ

この問題で手書きの写真についてなのですが、解答のアプローチの(イ)の最後のところで、私のやり方では示しにくいと書いてあったのですが、私のやり方では間違いなのか教えて欲しいです！よろしくお願いします！

13
a
(B
h
C
(4) a²+b²=c²="
三角形の辺の長さを上のように置く。
この三角形の面積は、
s=axbx1/2=1/2である。
また、内接円の半径をひとして、
B
I
三角形ABCの面積
C
を△ABCと表すと、
3
△ABC=△ABI+&BCI+CAT
と表せる。 それぞれに三角形の面積を
(2) 代入すると、た
athte
2/=/art/art/cr
alcablath-c)
となり、
r =
a+b+c
(a+h+c) (a+b-c)
☆al late-c)
=
a+ℓ²+2ab-c2
a+b-c
また、Aが奇数の時は奇数、A偶
数の時A2は偶数より、等号で結
ばれた式の両辺の偶奇は一致するので
ata=cに注目して、

(a, b,
=(偶、1品、
c)
偶)
(奇
奇
偶)
奇)
偽 奇)
(1, 5, 5)
偶、奇
(赤1
の組み合わせしかない。
これらの全ての組み合わせで、
a+b-cは偶数であるので
ataacは整数であるから
ひも整数である。
abc
(2)条件を満たすにはatate
が
整数になる時であり、
rc より rcは
auc
athtc
整数であるので条件は
成立

27-3
整数 整除 直角三角形の内接円の半径
各辺の長さが整数となる直角三角形がある.
(1)
この直角三角形の内接円の半径は整数であることを示せ..
(2)この直角三角形の三辺の長さの和は三辺の長さの積を割り切るこ
とを証明せよ.
解答
(1)直角三角形の斜辺の長さをα,他の2辺の長さを b, c とすると, a, b,
c は整数で,
42=b2+c2
また、内接円の半径をr とおくと,
〔お茶の水女子大)
r
=1/2(b+c-a)
........ ②
アプローチ
(イ) 直角三角形の3辺の長さ a, b, cは、もちろん,三平方の定理(ピタゴ
ラスの定理) をみたします. このとき3辺の長さを用いて, 内接円の半径
を表すことを考えます。 普通、 内接円の半径は、 三角形の面積Sを通して求
めます :
である.ここで(2k)2=4k2 (2k+ 1)2 = 4(k2 + k) +1により
(偶数)=(4の倍数),(奇数)=4の倍数)+ED
だから、整数の平方は4で割ると0または1余り, 2や3が余ることはな
い ① で b, c ともに奇数ならば 62 + c2 = ( 4 の倍数) +2となり, これは
整数の2乗にならない.したがって, bまたはcは偶数であり,
S= =(a+b+c)
.ad
斜辺の長さがαの直角三角形のときには, S=1/2bc ですから、
(i) b, c のいずれか一方が偶数で, 他方が奇数のとき, 1 から 2 は奇数だ
からも奇数であり, b+c-aは偶数である.
bc = r(a+b+c)
r=
bc
a+b+c
となりますが、これでは(1)は示しにくいでしょう. これが整数であることを
示すのはほとんど(2)の内容です.
(i) b,c がともに偶数のとき, ① から αが偶数でαも偶数となり, b+c-a
は偶数である.
以上から,r=
1/12 (b+c-a) は整数である。
☐
(0) 直角三角形に着目すると、面積を経
由しないでも,内接円の半径が3辺の長
さから求められます。 実際, 右図におい
て,Iが内接円の中心で, ARIQは半径r
を一辺の長さとする正方形, BR = BP,
CP=CQ だから,
(2) ①から
P
bc=1/1{(b+c)2-(62+2)}=1/{(b+c)2-02}
=1/2(b+c+a)(b+c-a)
Q
これと② から
2r = AR + AQ=AB + AC-BC
B
A
R
..
(内接円の半径)=1/{(斜辺以外の2辺の長さの和) (斜辺の長さ)}
すると,これが整数を示すには,上式の{}の中身が偶数を示せばよく、
それには三平方の定理から、辺の長さの奇数偶数にどのような制限が加わる
かを調べればよいのです.
(1)からr は整数だから, a + b + c は abc を割り切る.
(フォローアップ
1.(イ)から bc = r(a + b + c) がわかっているので,rが整数であるこ
とが示せると、けん
PICCOLLAGE
J
abc=1/12a(b+c+a)(b+c-a) = ra(a+b+c)
☐

Answer 1

ゲス卜

(1)、(2)共に素晴らしい回答だと思います。
間違いは見受けられないです。

ゲス卜

ふと思ったのですが
a+b-cはいかなるときも≠0ということを
示す必要があるのではないでしょうか。