Question

なごみ

(3)についてなのですが、きっとはさみうちの原理を使うだろうなと思いつつも、どのように挟めばよいかが思いつかないです。どのようにすれば思いつきますか？回答よろしくお願いします。

必解 206.
や
(IRI
αを実数とし、数列{x} を次の漸化式によって定める。
X=a, Xn+1 = Xn+xm² (n=1,2, 3, ......)
α > 0 のとき, 数列 {x} が発散することを示せ。
-1<a<0 のとき,すべての正の整数nに対して -1<x<0 が成り立つことを
示せ。
1 <a< 0 のとき, 数列{x} の極限を調べよ。
[19 東北大・理系]

206 <漸化式と極限〉
(1) 漸化式から, Xn+1 と Xn の間に成り立つ不等式を導き, 極限を求める。
(2)数学的帰納法を利用する。
(3)漸化式から,(1) とは異なる不等式を導き極限を求める。
x=x(x+1)から,漸化式の両辺の逆数をとり、数列{-1} の極限を調べる。
(1)与えられた漸化式より Xn+1-Xn=Xn2 ≧0
よって
Xn+1\Xn\
\x₁ = a
a0 であるから, すべての自然数nに対して
Xn+1-Xn=xm2より, n≧2のとき
n-1
2
n-1
Xn=x₁+ "Σ xx² ≥ a+ "Σ a² = a+(n−1)a²
k=1
k=1
lim{a+(n-1)α2}=∞ であるから
n→∞
すなわち. 数列 {x} は発散する。
=8
lim xn=
n→∞
xn² ≥ a²
数列{x} の階差数列の第
項は2
(2) -1<xn<0...
......
① とする。
[1] n=1のとき
-1<α < 0, x1 =α より ① は成り立つ。
[2]n=k のとき,①が成り立つ, すなわち 1 <x<0と仮定
する。 n=k+1 のときを考えると
xk
2
2
Xxn+1 = x + xn² = ( x n + 1)² = 1/1/1
よって,-1<x<0 のとき
4
2
4
-1≦x+1 <0
したがって, n=k+1 のときにも①は成り立つ。
[1], [2] からすべての正の整数nに対して, ①は成り立つ。
◆平方完成する。
(理系)
191

(3) (2)より, 1 <a< 0 のとき, すべての正の整数nに対して
-1<x<0 が成り立つから, Xn+1=Xn+xn2 の両辺の逆数をとる
Xn+1
xn(xn+1)
xn+1
1
1
1
1
1
=
=
と
=
2
Xn+1
xn+x²
Xn
1
ここで,0<xn+1<1 より
>1 であるから
xn+1
1
1
1
1
=
<
1
Xn
xn+1
Xn
1
1
1
Xn
よって
11/1-(n-1)}=-
lim
no X1
したがって
=-∞ であるから
limxn=lim
-1<
--2 <
<
Xn-1
Xn-2
X1 (d
1_
lim
=
n→ ∞ Xn
=
0
n→∞
n→∞
-9)
(n-1)
◆不等式を用いて極限を求め
(1)(2)より任意の
に対して Xn+1 ≧ X かつ
-1<x<0であることが
わかっているから,
のとき、数列{x
は収束することが予想でき
る。
Xn

Answer 1

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和

これは相当難しい問題と思います

模範解答ははさみうちでなく追い出しをしています
結果がxₙ→0なのは割とすぐわかることです
それを直接示すのが楽ならそうしますが、大変そうなので、
(1)と同様に1/xₙ→-∞を示す方針にしたようです

1/xₙ < … < f(n)として、
f(n)→-∞なので、追い出しの原理により
1/xₙ→-∞を示しています

なごみ

なるほど、納得しました！回答して頂きありがとうございました！