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解説は後して理由は、以下の通りです。
yの方程式で解いたためので、見つけられない重解があったからです。
「安易にD=0だけが解だと考えてはいけない」ということを学習する問題のようです。
ー解説ー
xで解いても,yで解いても重解は接点になるのですが、この問題では、
y=x²+aであるから、xの4次方程式になっています。
yが重解のとき、xの解は2つありますが（a=-37/4のとき2か所の接点）、
もうひとつ注意が必要なのは、ｙの解が1つであってもxが重解になります。
y=x²+aを変形するとx=±√(a-y)なので、重解は無いように見合えますが、
y=aのときx²=0、x=0で重解になっている（yの判別式D=0だと、これが見つけられない）。
このときa=±3
ー別解１ー
<4次方程式から頑張って重解を探す方法>
x⁴+(2a+1)x²+a²-9=0
(x²-α)(x²-β)=0（解の公式でα,βを求める）
重解を持つのは、α=β(>0)、α=0またはβ=0のとき、
α=β：a=-37/4
α=0またはβ=0：a=±3（←簡単に計算して解けます）
ー別解２ー
＜微分を利用した解法＞
微分を学習していれば、xの４次式から極大値、極小値がx軸と接するようにaを求めると解けますが、まだ学習前なのでyの２次方程式で解く解答になっていると思われます。
4次式：x⁴+(2a+1)x²+a²-9、x=0で極大,x²=-a-1/2で極小
このときのxを代入して4次式=0（極値が接点）となるのは、
a=±3、-37/4のときであり、また、
接点のxの値x=0,x=±√35/2であることがわかります。
なるほど！，ありがとうございます