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難しいですね。
「否定の命令文ではbe動詞も一般動詞も関係なくDon't 〜という」
この規則自体は、そういうものとして受け入れてください。
で、なぜこういう規則になってるのかですが
これ！っていう答えは見つからなくて、複数の説がある感じです。
そのなかで、信頼できそうかつ読みやすい説明のリンクを載せます。
http://selfyoji.blog28.fc2.com/blog-entry-3493.html
https://www.kufs.ac.jp/English/mebius/MebiusStrip/no029.htm
https://ameblo.jp/tonhiro0415/entry-11734897925.html
https://ameblo.jp/tonhiro0415/entry-11735526063.html
読めば書いてはあるけど念のため
補足になりますが
一般動詞の否定文の・疑問文で出てくるdo/does
I don't like English.
Does he speak Japanese?
このdo/does は大昔の英語には無かったんです。
大昔の英語では、一般動詞もbe動詞と同じで
notをただつけたり、動詞と主語を入れ替えたりすれば、否定文や疑問文になったんです。
で、ある時期から一般動詞の否定文・疑問文には
do/doesが使われるようになったんですが、そのとき以降自然にそういうふうな使い方に流れていったんでしょうね。
とても詳しく説明していただきありがとうございました。100％納得しました。ちょっとしたことが気になるたちなのでよくBob先生を困らせてしまいますが、洋楽が好きなので英語をぜひマスターしたいと思っています。
これとは別に、
Bob先生の言ってた
Do be kind to others. の文について
このdoは、強調を表すdoです
https://kou.benesse.co.jp/nigate/english/a13e2401.html
このURLで説明しているdoを
肯定文ではなく命令文で用いたものです。
ただし、このdoは
肯定文で用いるときはbe動詞は使いません
（画像を参照）
つまり、
◯Do be kind to others.は言えるけど
× You do be kind to others.とは言えない
いずれにしても、このdoはとりあえず
ご質問のDon't be〜の表現とは別物と考えて
置いておいた方が良いと思います。
（いろんな考えがあって、否定文や疑問文のdoも、この「強調のdo」なんだ！という人もいるようです。ただ、辞書では区別していると思うので、今回はそれに従っておきましょう）
超余談ですが
Bob先生の発言に疑問を持つのはすばらしいですね。
ぜひ物怖じせずにBobを質問攻めにしてください。
それでBobが困った顔したら、youがDon't be shyと言うたんと違うんか、と言ってやってください。