Question

ねこ

（2）（i）,(ii),(iii)の解き方がわかりません。
画像2枚目のように解いたのですが、間違っているところと解き方を教えてください。

正解
あなたの解答
3
3
6
6
3
1
1
2
【1】2次方程式x2-3x-6=0の解をα,β とする. n を正の整数とする
とき, a = a" + " とおく. このとき,
(1) an+2=1 On+1 + 2 0 が成り立つ。
(2)次のように推定した. 推定の正しいものは1,正しくないものには2
をマークせよ.
(i) すべての a は整数である
(ii) すべての a は偶数である
(i) すべての a は3の倍数である
3
4
-5
(1)70点 (2) 各10点)
1
1

2
空部
コピー3x6=0の解α、ρとする。
ん
づけ
An= x²+pusic.
)
4ρ^^) (d+B)
fan+t
htl
nt2
=+α+αp+P
(1) (X) Barz) = (xht Bhes) (α+p)-ap (α^t+p")
H
antz
H
ant
ここで解と係数より、x+p=
antz=auti3-1-6)an
=
=3aut+ban
an
=3、XB=-=-6.
(i)n=112のとき
(2) a1=α+B-3
A== x²+p²= (α+p)² - 2αp
=32-2(6)
<amは偶数の
=9+12
anが整数のとき
=21.
(ii) sar=A.
(ii) ar=2A
anは3の倍数である
(h)
・②とすると
akti=20
(〃)
ak+2=3artitbak
=3.2A+6.2B
=6A+12B=2(3A+6B)
Sax=3A
akt1=3B
③とすると
(..)
ak+2=3.3A+6.3B
=
3 (3A+6B)
よって、akesは3の倍数
よって、ak+2は偶数
(A,B整数)
aktiB…①とすると、
ak+2=3aknit 6ak
=3A+6B
よって、ak+2は整数

Answer 1

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Snomono

結論を言うと、(2)の記述は正しくないです。
そもそも数学的帰納法の基本はn=1で成り立ち、n=2,3,…kで成り立つ時、n=k+1でも成立するという示し方です。いわゆるドミノ倒しの考え方です。最初が倒れればその後も倒れていくでしょうという考え方です。
この本質を分かっていれば、(2)の記述に対して、最初が成り立つかを確認していないところが間違いとなります。
ただ、この問題は3項間漸化式なので、n=1だけを示してはうまくいきません。これは二つの項によってその次の項が決まるからです。なので、今回はn=1,2で成り立つことを確認し、n=k,n=k+1で成り立つと仮定した時にn=k+2で成り立つという、2つ前まで遡る帰納法で示す必要があります。画像は一つの記述例です。
詳しく知りたかったら、2つを仮定する帰納法などで検索したり、参考書をみると載っていると思うので、そこをよく確認しましょう。