Question

みみ

数列の範囲なのですが、（2）でDnがDn−1の各辺においてPQRを加えたものであるという説明がわからないので教えて頂きたいです。どのような図形になるのかイメージがわからないので解説して頂きたいです。よろしくお願い致します。

類題 11 解答 p.366
1辺の長さがαの正三角形 D。 から出発して,多角形 D1, D2, ..., Dr, ..
94× 次のように定める。
(i) ABをD-1 の1辺とする。辺 AB を3等分し,その分点をAに近い
方からP, Q とする。
S
(i) PQ を 1辺とする正三角形 PQR を Dn-1 の外側に作る。
(Ⅲ) 辺AB を折れ線 APRQB でおき換える。
D-1 のすべての辺に対して(i)~ (i) の操作を行って得られる多角形をDと
する。
ACMOS-1
(1) Dの周の長さLnをαとnで表せ。
(2) Dの面積Sをaとnで表せ。
(3) lim Sm を求めよ。
n→∞
(北海道大)

第4章 ①文字で置く。
の 9 m とおくと
11 (1) 多角形D の辺の数を1週
1
√3
・α2
.. Sn-So
12
4
(i), (ii), (iii)
ao=3, bo= a
......①
20
R
ここで,
P/
Q
√3
A
So=
a²
4
an=4an-1
また,AP= 1/12 AB であるから,
3
bn=bm-1
① ② ③ より
D-1の1つの辺AB から, Dの4
つの辺ができるので,
B
であるから,
Sn=-
-a²
4
...2
3√3
+
an=4ao=3.4
bn
n
(b=()b()" a
bo
3
3
したがって,
1\n
Ln=anbn=3.4".. a
3
(3) lim Sn
n→∞
20
-√(8-3())²
{8-8
-lim 23 (8-3(-4)") a²
2√3a²
5
③④に注
a=1<
ことがわかる。
az-r
az >
であるから
nが奇数
nが偶数
である。
(3) ⑤n
(3
a
(4\n
=30
a
(2) DはD-1 の各辺において正三角
形PQR を加えたものであるから
a=1
12 (1), (2) an+1=
r>1 ...... ③ と ① ② より
antre
an+1
Sn-Sn-1
√3
an>0
①より
=△PQRan-1=-
•PQ2 an-1
4
antitre
an+2
√3
an+1+1
-.bn² an-1
4
antre
an+1
2n
√3 1
4 3
√3
4
12
(
9
a².3.4"-1
n-1
したがって,
n
(Sk-Sk-1)
k=1
√3/4k-1
=
k=1
IM=
12
であるから
=
an+2-r
antra
an+1
・+1
(1+r2)an+2r2
2an+r2+1
(r2+1)an+2re-r(2an+r2+1)
2an+r2+1
_(n-1)2(an-r)
2an+r2+1
・⑤ (2)の答
(4)

Answer 1

和

このようになります

みみ

なるほどです。Dn−1の各辺の1/3の長さを1辺とす正三角形なので面積はPQRと同じにはならないと思ったのですが、なぜ辺にPQRをかけているのでしょうか？

和

あなたの考えがよく伝わってこないのですが、
Dₙの面積Sₙは、Dₙ₋₁の面積Sₙ₋₁に、
小正三角形をDₙ₋₁の辺の本数分足したものです
Dₙをつくる際に新たに加わった小正三角形の面積は、
(1/2)×((1/3)bₙ₋₁)²×sin60°
もしくは(1/2)×bₙ²×sin60°です

よって
Sₙ = Sₙ₋₁ + △PQR×(Dₙ₋₁の辺の本数)
Sₙ = Sₙ₋₁ +
( (1/2)×(Dₙの辺の長さ)²×sin60° ) × (Dₙ₋₁の辺の本数)
Sₙ = Sₙ₋₁ + (√3/4)×bₙ² ×aₙ₋₁
です

みみ

返信遅くなって申し訳ないです。理解できました。ありがとうございます。