Question

sari

数学B、数学的帰納法の問題についての質問です。
下の赤いボールペンで線を引いた下から2行目のn=2kの部分ですが、この時｢kは自然数｣や｢kは整数｣などの断り書きはしなくても良いのでしょうか？
普通の帰納法の問題では、n=kで命題の成立を仮定する時に、nが自然数なのでn=kとおいたkも自然数であるため断り書きがいらないのは理解できるのですが、下の問題ではn=2kなので、例えばk=1/2でもnが自然数であることが成り立ってしまうのではないかと思いました。

EX (1,2, b1=1 および
033
1+1=2+3b, b+1=a+2b(n= 1, 2, 3. ......)
で定められた数列{a}{b}がある。 Cab とするとき
(1) C2 を求めよ。
(2) Cm は偶数であることを示せ。
(3)が偶数のとき, C7は28で割り切れることを示せ。
[北海道太]
←各漸化式に n=1 を代
b2=a1+2b1=2+2・1=4
(1) a2=2a1+3b」=2・2+3・1=7,
よって
C2=azbz=7.4=28
(2) [1] n=1のとき
C=ab=21=2であるから, Cn は偶数である。
[2] n=kのとき, C が偶数であると仮定すると,
Ck=2mm は整数)と表される。
n=k+1のときを考えると
Ck+1=ak+1bk+1=(20+3bk) (+20k)
=2a2+7akbk+65k2
=2ak+7.2m+60m²
=2(ax²+7m+3bk²)
+7m+3bk2は整数であるから, Ck+1 は偶数である。
よって, n=k+1のときも成り立つ。
[1] [2] から すべての自然数nに対してcmは偶数である。
(3) [1] n=2のとき
C2=28であるから, C7は28で割り切れる。
[2] n=2kのとき, C2kが28で割り切れると仮定すると,
C2k=28m (mは整数)と表される。
入する。
←数学的帰納法で証明。
←akbn=ch=2m
←漸化式から、すべての
n に対して, an, bm は整
数である。
←数学的帰納法で証明。
[n=2, 4, .... 2k, ... が対
象である。

(k+1)のときを考えると
Ca(x+1)=a2(k+1)b2(火+1)=(202k+1+3b2k+1) (az2k+1+262k+2)
={2(2012k+302k)+3(azk+2b2k)}
×{(2czk+3bzk)+2(a2k+262k)}
=(7azk+12b2k) (4azk+76zk)
=28azk2+97azkb2k+8462k2
=28a2k2+97c2k+84b2
=28(azk²+97m+352k²)
数学B377
漸化式を再び利用。
EX
数
24
42k
れる。
97m+3b262 は整数であるから, C2(k+1)は28で割り切
よって, n=2(k+1) のときも成り立つ。
[2]から、nが偶数のとき cm は 28で割り切れる。
←Cz=28m を利用。
←漸化式から、すべての
In に対して, an be は整
数である。

数学的帰納法

Answer 1

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和

書けば書いたで丁寧だと思いますが、
書かなくても問題ないように思います

数学的帰納法は、「ある仮定をしたとき次が成り立つ」
という理屈を利用しています
ここでは「n=2kのときcₙが28の倍数と仮定すると
n=2(k+1)のときもcₙは28の倍数」を示します

ここにおいては、あくまで
「c₂ₖが28の倍数であるとしたら」の話をしています
c₂は28の倍数なので、c₄も28の倍数
c₄は28の倍数なので、c₆も28の倍数
と進んでいきます

c₂ₖが28の倍数でないときの話はどうでもよいです
k=1/2のとき、c₁=2は28の倍数でないのでどうでもいいし、
そもそも「nが偶数のときcₙが〜」という話をしているので、
nが偶数にならないときは想定しなくてよいです

sari

確かに問題にも書いてありますね、、回答ありがとうございます🙇