Question

やう

「aが無理数であれば、√2+√aは無理数である」の真偽をし証明するという問でこの命題が偽であることはわかったのですが、この反例のa=6-4√2というのはどうやって出すのでしょうか?
この反例自体は理解してます。自分で考えて出すものなのでしょうか?

10歳
8
11歳
(有理数と無理数の命題の真偽)
approach p.5 問題
を正の実数とするとき,以下の命題の真偽を調べ,真であれば証明し, 偽であれば反例をあげよ。
12
なお,必要に応じて、2が無理数であることを証明なしで用いてよい。
6-4√√2
(
N
女形させ

る 。
(2) 偽(反例) a=6-4/2
(説明) a=6-4√2 のとき
√a=√6-4√2 =√6-2√8 =√(4+2)-2/4.2
=√4-√2=2-√2
よって、√2+√a=2となるから,偽である。
[参考] 6-4√2 が無理数であることは,1と同様に次のよう
にして証明できる。
6-4√2 が有理数であると仮定し, 6-4√2=r(rは有理
6-r
数とすると √2-
==
4
6-r
は有理数であるから
も有理数であり、これは
4
が無理数であることに矛盾する。
したがって, 6-4√2 は無理数である。

命題 真偽 有理数と無理数

Answer 1

きらうる

√の中に√が入るので、二重根号が外れる数で、√2が無理数であることは証明されているので、√2は用いた数であればなんでも良いです。

例えば11-6√2とか、√(11-6√2)＝√(11-2√18)
　　　　　　　　　　＝√9-√2＝3-√2　でもいいかと。

√a＝√(11-6√2)
　＝3-√2　だから、
√a+√2＝3　となるから偽