Question

Y

数学　数列
画像の⑴で
①赤ラインのところ
2^k-1が素数だと、なぜマーカーのような約数になるのですか？（素数ということにどういう意味があるのでしょうか）

②青🟦のところ
このΣ記号の式の解き方がとく分かりません。
どうすれば＝の後のようになりますか？

例題 3
kが正の整数で2-1が素数であるとする。
2121)のすべての約数(1とαを含む)をa, a2, ......, an とす
るとき を求めよ。
i=1
ai
(2) 3数αβaβ(α < 0 <β)は適当に並べると等差数列になりま
た適当に並べると等比数列にもなるという。α,βを求めよ。
解答 (1) 2
2
(2) (a, B)=(-2, 4), (-)
解説 (1) αの約数は, 2-1が素数だから,
1, 2, 22, ...
2k-1, (2-1), 2(2k - 1),
......, 2-1 (2k-1)
n
i=1
ai
12
(1+1/22)1+20)
21 -1 ) ( 1 + 2 =—=— 1 )
2k
2k-1
2k-
=
2(2-1)=2
2k-1
ALTER

Answer 1

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和

①わからなければ、具体例でまずは考えては？

k=2のとき、2ᵏ-1 = 3は素数
a = 2×3 = 6の約数は1,2, 3,6

k=3のとき、2ᵏ-1 = 7は素数
a = 4×7 = 28の約数は1,2,4, 7,14,28

k=5のとき、2ᵏ-1 = 31は素数
a = 16×31の約数は
1,2,4,8,16, 31, 31×2, 31×4, 31×8, 31×16

遅くともこの辺で気づくかもしれませんが、
aは「2の累乗2ᵏ⁻¹」と「素数(=pとおく)」の積なので、
その約数は
1,2,4,8,…,2ᵏ⁻¹と、p, p×2, p×4, p×8,……, p×2ᵏ⁻¹
ということになります

②1/1 + 1/2 + 1/4 +……+ 1/2ᵏ⁻¹
+ 1/p + 1/(2p) + 1/(4p) +……+ 1/(2ᵏ⁻¹p)

後半を1/pでくくると

1/1 + 1/2 + 1/4 +……+ 1/2ᵏ⁻¹
+ (1/p) ( 1 + 1/2 + 1/4 +……+ 1/2ᵏ⁻¹ )

式全体は1/1 + 1/2 + 1/4 +……+ 1/2ᵏ⁻¹でくくれるので、
くくるとできます

Y

もちろん質問前に4×3や10×7だったら約数はどうなるかな？と具体的に考えてはみましたが、いただいた回答を見る限り考え方がズレていたようですね…💦

1から順にkに入れてましたが、2^k -1が素数になるように入れていかなければならなかったのですね！理解できました。
教えていただき、ありがとうございます。