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(2)10(=2×5)が何個できるかを考えると解けます
N=1・2・…・200の中に5が何回乗じられているかを求めることになります。
（2の個数は5の個数よりも多いから、5の個数を考えれば大丈夫）
1～200のうち、
5の倍数は40回出現
5²(=25)の倍数は8回出現
5³(=125)の倍数は1回出現
重複を考えて、これを足せば答えになります(49)。
(3)うまく7の倍数を除外していくとよいです。
3¹⁰⁰=(3²)⁵⁰=(7+2)⁵⁰=7の倍数+2⁵⁰
2⁵⁰=(2³)¹⁶・2²=(7+1)¹⁶・2²=7の倍数・4+4
よって、7で割ると4余る
[次のようにも計算できます]
3¹⁰⁰=(3⁶)¹⁶・3⁴=729¹⁶・3⁴=(7・14+1)¹⁶・3⁴
=7の倍数・3⁴+3⁴
3⁴=81=7・11+4
よって、7で割ると4余る
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説明少ないので、不明点あればコメントください
3¹⁰⁰=(3²)⁵⁰=(7+2)⁵⁰=7の倍数+2⁵⁰
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２項定理を知っていれば、以下の式を思い出して計算します。
(x+y)ⁿ=ₙC₀xⁿ+ₙC₂xⁿ⁻¹y+…+ₙCₙ₋₁xyⁿ⁻¹+ₙC₀yⁿ
=x(ₙC₀xⁿ⁻¹+ₙC₂xⁿ⁻²y+…+ₙCₙ₋₁yⁿ⁻¹)+yⁿ
=xの倍数+yⁿ
⇒(7+2)⁵⁰=7の倍数+2⁵⁰
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２項定理を知らない場合は、以下の様になることに気づいて計算します。
（(x+y)ⁿの展開・・・パスカルの三角形）
(x+y)²=x²+2xy+y² =x(x+2y)+y²
(x+y)³=x³+3x²y+3xy²+y³=x(x²+3xy+3y²)+y³
(x+y)⁴=x⁴+4x³y+6x²y²+4xy³+y⁴
=x(x³+4x²y+6xy²+4y³)+y⁴
・・・
(x+y)ⁿ=x{xⁿ⁻¹+…+？xyⁿ⁻²+nyⁿ⁻¹}+yⁿ
=xの倍数+yⁿ
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周期性、合同式を使う方法（フェルマーの小定理）などもありますが面倒だと思います
（ご参考）
https://tsujimotter.hatenablog.com/entry/100th-power-of-three-modulo-19
合同式を使って簡単に計算するには
（合同式の公式などの理解が必要ですが）
3³=27≡-1 (mod7)
(3³)³³≡(-1)³³ (mod7)
=-1 (mod7)
3¹⁰⁰=(3³)³³×3 を7で割ると、-1×3=-3
⇒余り4（7で除算した余り-3を正の数で表す）
合同式の計算は、以下と同様のことです。
3¹⁰⁰=(3³)³³×3=(28-1)³³×3=(4・7-1)³³×3
=7の倍数+(-1)³³×3
=7の倍数 - 3
余り-3⇒余り4
単元的には以下の公式を使うように思いました
（フェルマーの小定理）
3¹⁰⁰を7で割ったあまりは？
3⁷⁻¹を7で割ると1あまる（フェルマーの小定理）
⇒3⁶を7で割ると1あまる
⇒(3⁶)¹⁶を7で割ると1あまる
3¹⁰⁰=3⁴×(3⁶)¹⁶を7で割ると3⁴(=81)あまる
3⁴(=81)を7で割ると4あまる
ありがとうございます✨️
(3)の式の2行目の=で挟まれた真ん中の部分をもう少し詳しく教えてください