Question

なごみ

この問題のActionのところに書いてある、無理関数を含む不定形の極限は、分子または分母を有理化せよというのがなぜなのかが分かりません。どのようなメリットがあるのでしょうか？回答よろしくお願いします。

例題 52 極限と保数決
次の等式が成り立つように、定数a, bの値を定めよ。立た
lim{√x2-2-(ax+b)}=0
8+xp+5
x→∞
8-4
候補を絞り込む
(2)
a > 0 のとき
a = 0 のとき
→b
∞∞の不定形
与えられた等式を
は-6台)]
満たすのは,
この場合のみ。
8-1
∞+∞∞
思考プロセス
la < 0 のとき
α > 0 で考える。
Action» 無理関数を含む不定形の極限は,分子または分母を有理化せよ
解 a≧0 のとき,与えられた極限は∞に発散するからa>0 lim√x2 -2 = ∞,
√x2-2-(ax + b) 0 =
(x) m
{√x²-2-(ax+b)}{√x-2+(ax+b)}
√x2-2+(ax+b)
-0-0-(1-a²)x2-2abx-(2+b²)
==
√x2 -2 +(ax+b)
x→∞
a < 0 のとき mi
lim{-(ax + b)}=∞
x→∞
a = 0 のとき
lim{-(ax + b)} = -6
x→∞
TA
よって, a≧0 のとき
(与式)。
2+62
+ (1-α2)x-2ab
x 010
2
b
1-
+a+
2
x"
x
よってx→∞ のとき,これが収束する条件は
1-α2 = 0
a>0より α = 1 であり,このときの極限値は
(+x+im{√x²-2-(ax+b)}
lim{vx2-2-(ax+b)}=∞
分子を有理化する。
x→∞より,x > 0 と考
えて、分母分子を x で
割る。
(S) SIS
8
分母のみの極限値は
lim
2
2+62
81X
x2
+a+
- 26
x
x
・26
=1+α
lim
-b
80+x
2
b
2
1
+1+
2
であるが, a>0より 0
にならない。
x
x
ゆえに
したがって
b=0
a=1,6=0

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

🍇こつぶ🐡

「∞ - ∞」は、定義できない（不定形）。
無限大（∞）は数ではなく、極限の概念だから。
つまり、このままだと計算できない。
「∞ - ∞」は、いつも0ではなく、状況で変わるため計算できない。

したがって、右辺が0(収束した値)になるから、左辺はそのまま不定形では計算できないため、分子または分母を有理化するのがセオリーとなっている🙇

なごみ

回答ありがとうございます！納得しました！