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■問題の確認
方程式 x³ + ax² + bx - 2 = 0 の解の一つが x = 1 - i のとき、実数 a, b の値と他の解を求める。
■解き方
●複素数解の性質
実数係数の高次方程式が複素数解 α を持つとき、共役複素数 ᾱ も解となる。
今回の場合、1 - i が解なので、1 + i も解となる。
●解と係数の関係
3次方程式 ax³ + bx² + cx + d = 0 の解を α, β, γ とすると、以下の関係が成り立つ。
α + β + γ = -b/a
αβ + βγ + γα = c/a
αβγ = -d/a
●解と係数の関係の利用
今回の方程式に解と係数の関係を適用する。
3つの解を 1 - i, 1 + i, γ とおく。
(1 - i) + (1 + i) + γ = -a
(1 - i)(1 + i) + (1 + i)γ + (1 - i)γ = b
(1 - i)(1 + i)γ = 2
●計算
上記の式を計算して、γ, a, b の値を求める。
●答え
計算すると、以下のようになります。
γ = 1/2
a = -5/2
b = 5/2
したがって、他の解は 1 + i と 1/2 です。
■確認
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一致しました！
一つ質問があります！他の解を求めるとき、問題文にあらかじめx=1-iがあるじゃないですか。だから他の解を求めるとき1/2が出た時点でx=1+iはわざわざ計算しなくてもいいですか？