Question

たなかあお

（3）
やり方は分かるんですが、なぜ階差数列を利用して求めることができるのでしょうか？教えてください。

基本
例題
(1) α1=-3, an+1=an+4
((3) a1=1, an+1=an+2"-3n+1
次の条件によって定められる数列{an} の一般項を求めよ。
33 等差数列,等比数列, 階差数列と漸化式
00000
(2) a1=4,2an+1+34=0
[(3) 類 工学院大 ]
/P.462 基本事項 2
八から ama
うに、数の
武という、
463
指針
漸化式を変形して, 数列{a} がどのような数列かを考える。
(1) an+1=an+d (an の係数が1で,dはnに無関係)→公差 d の 等差数列
(定数項がなく, rはnに無関係)
(2) an+1= ran
→公比rの 等比数列
(3) an+1=an+f(n) (anの係数が1で,f(n)はnの式)
→f(n)=b とすると, 数列{bn} は {an}の階差数列であるから,公式
n-1
を利用して一般項を求める
n≧2のときan=a+bk を利用して一般項 αn を求める。
k=1
(1) an+1-an=4より,数列{an}は初項α= -3,公差4の
等差数列であるから
an=-3+(n-1)・4=4n-7
解答
3
(2) An+1=-
-an より, 数列{an} は初項α1=4,公比 3
<a=a+(n-1)d
2
の等比数列であるから
3\1
an=4.0
4漸化式数列
(3) an+1-an=2"-3n+1より, 数列{an} の階差数列の第n
項は2"-3n+1であるから, n≧2のとき
n-1
ax-ai2-3-1+1an=a1+2 (2k-3k+1)
k=1
=1+22-32k+21
2(2n-1-1)
(A) S
an=ar-
階差数列の一般項が
すぐわかる。
n-1
◄an=a+bk
k=1
--3121 (n-1)n(n-1) 2* は初項 2, 公比
2-1-3.(n-
as-az=2-3-2+1
Q4-93=233.3+1
ai
9
a3
=1+
94
+23-33+1
12-3-1+
=2"-3/n²+n-20
5
①
2-3.2+1
n=1のとき
•12+
2-12/31+1/2･1-2=1
5
n-1
k=1
2 項数n-1の等比
数列の和。
α = 1 であるから, ①はn=1のときも成り立つ。
したがって
3
a=2"-n²+n-2
5
①初項は特別扱い
注意 an+1=an+f(n) 型の漸化式において, f(n) が定数の場合, 数列{a} は等差数列となる。
(2) α1=-1, an+1+an=0
AC
練習 次の条件によって定められる数列{an} の一般項を求めよ。
① 33
(1) a₁ = 2, anti-an+ 1/ =0
(3) α1=3, 2an+1-2an=4n+2n-1

Answer 1

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都夢

An+1-An＝nの式 になっていたら階差数列を使います
階差数列がそもそもAnの式を引いた差がなにか一般項をもつもの(＝nの式)になるときの数列のことなのでなんというか深く考えすぎず漸化式は典型パターンを網羅出来れば良いと思います🙆🏻
An+1-An＝定数 が等差数列なのとなにも変わりありませんよ