Question

rei

なぜ共有する解や一つの解がそれと特定できるのですか？
例えば、1+iと-2が2つの解になったりはしないんですか

121
324 2つの方程式 x3+6x+20=0,x2-2x+α= 0 が次の条件を満たすように、定数αの値を定め
(1) 2つの解を共有する。
A-676-2
49
8=0.03
180(火
(2) ただ1つの解を共有する。

羊と係数の関係」
次のように解くこともできる。
方程式の係数は実数であるから, 2+38
複素数 2-3iも解である。 もう1つの解を
すると,解と係数の関係により
p+ (2+3i)+(2-3i)=5
(2+3ip+(2-3i)+(2+3i)2-3)
(2+3i)(2-3i)p=-b
(1)
①,②が2つの解を共有するとき,その共有
1+3i
する解は
②が1±3iを解にもつとき,解と係数の関係か
(1+3i)(1-3i)=a
ら
よって
a=10
このとき②はx²-2x+10=0 となり、確かに
1 ±3i を解にもつ。
(2) ①,② がただ1つの解を共有するとき,その
-2
共有する解は
それぞれ整理すると
p+4=5, 4p+13=a, 13p = - b
②が2を解にもつとき
これを解いて p=1,a=17,b=-13
したがって,他の解は
(−22−2(-2)+a=0
1, 2-3i
よって
a=-8
323 x3-3x2+(a-4)x+a
このとき②はx²-2x-8=0 で, その解は
2,4となり,条件を満たす。
=(x+1)a+x3-3x²-4x
325 解と係数の関係から
=(x+1)a+x(x2-3x-4)
=(x+1)a+x(x+1)(x-4)
a+β+r=4,
aβr=-8
=(x+1){a+x(x-4)}
=(x+1)(x2-4x+α)
よって, 方程式は
(x+1)(x2_4x+α)=0 ... (
ゆえに x+1=0 または
x2-4x+a=0 ...... 2
1 1 1 aβ+Br+ra -5 5
(1) + ・+
(2) a2+2+2=(a+β+r)2-2(a+βr+ra)
(3) 3+3+3
aβ+βr+ra=-5,
== -8 8
=42-2.(-5)=26
=++r)(2+2+r-aβ-βr-ra)+3aßr
=4{26-(-5)}+3(-8)=124-24=100
①が2重解をもつのは,次の[1][2]の
の場合である。
[1] ② の1つの解が−1で,他の解が!
②が1を解にもつから
よって
(−1)2-4(−1)+a=0
a=-5
このとき②は
(x+1)(x-5)=0
ゆえに,解はx=-1, 5となり適する。
[2]②が1以外の重解をもつ。
②の判別式をDとすると,D=0が成り
すなわち (-4) -4.1.a=0
(4) a +8+4
=(a2+2+r2)2-2(a232+B2x2+rza²)
ここで
a2B2+B2x2+2a2
=(aβ+βr+ra)2-2(aβ・βr+βrra+ra aβ)
=(aβ+βr+ra)2-2aβr(a+β+r)
=(-5)2-2-(-8)-4=89
よって α^+B'+y^=262-2・89
=676-178=498
別解 α-402-5α+8=0, β3-482-5β+8=0,
3-42-5y+8=0であるから
a3=4a2+5a-8,33=432+5β-8,
3=42+5r-8
よって
a=4
このとき②の重解は
x=-
2.1
=2(適する)
[1], [2] から求めるαの値は
324 x +6x+20=0
x²-2x+α=0
①の左辺をP(x) とすると
P(-2)=0
P(x) を x+2で割って因数分解すると
P(x)=(x+2)(x-2x+10)
よって, ①は
ゆえに、①の解は
(x+2)(x²-2x+10)=0
x=2,131
よって
++
=α(4x²+5a-8)+β (4β2+5β-8)
+r(42+5-8)
=4(3+3+y3)+5(x²+B2+2)-8(a+β+r)
=4.100+5.26-8.4=498
(5)x-4x2-5x+8=0の3つの解がα, B, rで
あるから
3-4x2-5x+8=(x-α)(x-3)(x-r)

Answer 1

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和

2枚目の左上の「参考」に書いてありますが、
係数が実数である方程式が
a+bi(a,bは実数)を解にもつとき、a-biも解です
つまりa+biとa-biは解としてはセットです

2つの解を共有するということは、
係数が実数の2次方程式②が
1+3iを解にもったら1-3iも解になります
だから、②が1+3iと-2を解にもつ、
ということはありません