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まず放物線と直線の共有点を求めます。
x+a-1=ax²
ax²-x-a+1=0
解の公式からx=[1±√{1-4(1-a)a}]/2a={1±(2a-1)}/2a
(実数解を2つもつため、√の中身が正よりa＞1/2)
よって共有点2つのx座標はx=1、-1+(2/a)
これらをy=x+a-1に代入すると、共有点のy座標はそれぞれa、(a²-2a+2)/a
直線から切り取る線分の長さが√2であることから、三平方の定理より、
(√2)²=[1-{-1+(2/a)}]²+[a-{(a²-2a+2)/a}]²
両辺a²をかけて整理すると、
(途中式 4a²-8a+4+4a²-8a+4=2a)
3a²-8a+4=0
(3a-2)(a-2)=0
a=2/3、2 (これはa＞1/2を満たす。)
訂正
(途中式 4a²-8a+4+4a²-8a+4=2a²)