Question

ぴい

【数学】ベクトルの問題です。
(1)の解き方が分からないので教えていただきたいです🙇‍♂️

4a, b を定数とする. 空間内に4点A(1, 5, 9), B(3, 4, 8), C(2, 6, 7), D(a, b, 12) がある.三角形 ABC の
重心を G とする. AG⊥DG, BG⊥DG であるとき、 次の問いに答えよ.
(1)点の座標とα, bの値を求めよ.
(2) ∠BACの大きさを求めよ.
(3) 三角形ABCの面積を求めよ.
(4) 点 A, B, C, D を頂点とする四面体の体積を求めよ.

ベクトル 空間ベクトル

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

mo1

参考・概略です
「→」は省きます

公式
　△ＡＢＣで、Ａ(a₁，a₂，a₃)，Ｂ(b₁，b₂，b₃)，Ｃ(c₁，c₂，c₃)のとき
　　重心Ｇ({a₁＋b₁＋c₁}/3，{a₂＋b₂＋c₂}/3，{a₃＋b₃＋c₃}/3)
　を利用し

(1) Ａ(1，5，9)，Ｂ(3，4，8)，Ｃ(2，6，7)　で、
　　　Ｇ(2，5，8)

　ＡＧ＝(2，5，8)－(1，5，9)＝(1，0，－1)
　ＢＧ＝(2，5，8)－(3，4，8)＝(－1，1，0)
　ＤＧ＝(2，5，8)－(a，b，12)＝(2－a，5－b，－4)

　ＡＧ⊥ＤＧより、ＡＧ・ＤＧ＝0　で
　　ＡＧ・ＤＧ＝(1，0，－1)・(2－a，5－b，－4)＝－a＋6＝0 で，a＝6

　ＢＧ⊥ＤＧより、ＢＧ・ＤＧ＝0　で
　　ＢＧ・ＤＧ＝(－1，1，0)・(2－a，5－b，－4)＝a－b＋3＝0 で、b＝9

補足
ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＡ＝√6で、
　△ＡＢＣは正三角形
更に、ＡＧ⊥ＤＧ，ＢＧ⊥ＤＧで、
　Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄを頂点とする四面体は
　　△ＡＢＣを底面，高さＤＧ＝4√3となる正三角錐となります

ぴい

丁寧な解説ありがとうございます🙇‍♀️