Question

よあこひ

2枚目に書き込んだようになるのでは？
と思い、質問をすると、

あなたのやったように偏角に2nπを加えてしまうとαの12乗は原点からの距離がrの6乗で偏角が12θの点となります。それは誤りですよね。
と言われたのですが、どうして原点からの距離がrの6乗になるのかわかりません
また、
解答の最後の2kπの出てくる理由が分かりません

数学II, 数学B 数学 C
[2] p, gを実数とする。 xの2次方程式 x2px+g = 0 は虚数解 α, β をもつとす
る。 ただし, αの虚部は正であり,βの虚部は負であるとする。
pg は カ を満たす。
αを極形式で表して
a=r(cos + isine) (r>0,0<0<π)
とする。このとき,β=キと表せる。
5
00の範囲において,d=β° が成り立つような 0は
ク 個ある。
以下,α = ßが成り立つとする。複素数平面上でα,β, 2 の表す点をそれぞれ
A,B,C とするとき,点Cが線分ABの中点となるような実数,g の組は
23
コサ
(p, q)= ケ
ケ
セ
,
35
2
である。 これらは
13.0-b
カ を満たす。
2
の解答群
Op2-4g>0.
①p2-4g=0
②p²-49<0
キ
の解答群
⑩r{cos(-6)+isin(0)}
②/{cos(-6)+isin(-9)}
① r(cos20+isin20)
1 (cos20+isin20)
r

を満たす.
① のとき, 方程式(*) の二つの虚数解 α, β は互いに共役な複素数
であるから,B=a である. よって,αを極形式で表して
a=r(cos0+isine) (r>0,00<z)
とすると
B=r{cos(-0)+isin(-9)}
と表せる.
ド・モアブルの定理より+2k
a
α=r³ (cos 604.
560+isin 60),
と
B°=r{cos(-60)isin(-60)}
である。 よって,α°=β が成り立つとき, 偏角を比較すると, 0 は
60=(-60)+2k (k は整数)
うちけしあって
45-
三えるのでは?

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

和

人様のコメントの意図について第三者が憶測まじりに言うのは
憚られるので置いておきます
というか意図がよくわかりませんので…

まず、α = r(cosθ+isinθ)であれば、
ド・モアブルによれば
単純にα⁶ = r⁶(cos6θ+isin6θ)です
だから2kπを入れるのはおかしいです
ド・モアブルの定理が2kπを入れていい、
なんて特に保証していないのですから…
だからこそ、その模範解答も2kπなんて書いていないわけです
「書いてもいいけど省略した」というより、
「書かない」のです

αは原点からr離れていてθ回した点で、1点だけあります
α⁶は原点からr⁶離れていて6θ回した点で、1点だけあります

r⁶(cos(6θ+2kπ)+isin(6θ+2kπ))（kは整数）で表されるものは、
原点からr⁶離れていて、6θ回した点と6θ±2π回した点と
6θ±4π回した点と6θ±6π回した点と……
という無数の点を表すことになります
無数の点を表しても不都合は特に感じないかもしれませんが、
同じ位置にある点について、あえて複数の表現を許す必然性はなく、
偏角は基本的には1周分で考えます

で、ここからが本題でしょうか
では、最後に2kπが出てくる理由です
6θ回し終えた位置と
-6θ回し終えた位置が一致するとき、
6θ = -6θとは限りません
6θ = -6θ+2πなど、
1周遅れとか1周早い可能性があるため、
+2kπを補っておくのです

実際、θ=(5/6)πとしてみると、
6θ = 5πと
-6θ = -5πとは一致しないので、
回し終えた点が一致するかはわかりません
（実際5πとか-5π回せばわかりますが）
6θ = 5πと
-6θ+10π = 5πは一致するので、
回し終えた点が一致するとわかります

以上の話は三角関数あたりで触れたほうが
わかりやすいかもしれないです
たとえばsin3x=sinxだからといって、
3x=xとは限らないわけです
3x=x+2kπ, π-x+2kπですね
（よくわからなければこの段落は無視してください）

よあこひ

なるほど。確かに、元の点が１つなのだから、移動した後の点も１つに限定できますよね
また、点が一致してても、同じ周回分とは限らず、一回多く回ってたり、2回多く回ってたりする可能性があるので、2nπをつけたということが分かりました。
詳しく、例も出しながら分かりやすい説明をしていただき、ありがとうございました！