Mathematics
มัธยมปลาย
赤線で書いているところがわからないです。条件が与えられてるわけでもないのになぜT(n+1)=3Tnと表せるのかが。もしSnが等比って分かってるならそう表せると思うんですけど。どなたか教えてください。
頭 128
(1)数列{az} の初項から第n項までの和S”が次の条件をみたす.
S=1, Sn+1-3Sn=n+1(n≧1)
(i) Sn を求めよ。 (i) an を求めよ.
n
336
演習問題の解答 (12~13
a1
= +
2\n-1
みたす α, β を考えると,
a=. B=3
1-2/3
-1+ {1-()) =
3
これは, n=1のときも成立.
5
(3) an-3"bn=3" {(3)"}
=5・3n-1-2n
127
1
(1) 与式より an+1=1+-
3-an
ed
また,
1
an-2
1
=bnより, an=2+
bn
よって、 ①に代入すると,
そこで Tn=Sat 1/2n+2/27 と定めると
Tn+1=3T
T₁ = (S₁+1+).3"-1
Tn=
よって,
=2.3"-1
Sn=T-1-3-2-3-1-1-3
4
4
4
(3+1-2n−3)
(ii) n≧2 のとき,
=
an= SnSn-1-1/21.3-12
これは, n=1のときも成立。
(2) (i) n≧2 のとき,
2+1=1+
bn+1
1
1
bn
1 __ 1
bn+1 bn-1
.. bn+1=bn-1
(2)6+1-6=-1 より数列{bn} は初項
① -1, 公差 -1の等差数列.
よって, bn=-1-(n-1)=-n
1
kan-
kak=nan
k=1
k=1
であるから nan=nan-(n-1)2an-1
よって, n≠1 だから
n-1 (
an= -an-1 (n≥2)
n
(ii) bn=nan とすると, (i) より
bn=bn-1 (n≥2)
bn=bn-1=···=b₁=1•a₁=1
bn=nan=1
①
1
1
(3)
An-2
=-n & D
:. an=-
n
1
2n-1
これは, n=1のときも成立。
an=2+
-n
n
128
(1)(i) Tn=Sn+an +β とおき, 与式
に代入すると
Tn+1-α(n+1)-β-3(Tn-an-β)
=n+1
∴.Tn+1-3T+(2α-1)n-α+2β-1
=0
129
(1) an+2-Qan+1=β(an+1-aan)
よりan+2=(a+β)an+1-aßan
与えられた漸化式と係数を比較して、
a+β=3, aβ=2
..(α,β)=(1,2) (2,1)
(2) (α,β)=(1,2)として
an+2-an+1=2(an+1-an)
ここで 2α-1=0, -α+2β-1=0 を
an+1-an=(az-a)2"-1=2"-1
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