Mathematics
มัธยมปลาย
微分についての質問です。一枚目の写真で青マーカーを引いたところには、「三次不等式はグラフを利用して求める。極値を求める必要はない。」とありますが、例題212.213では極値を出して解いている気がします。
・なぜ例題212.213では極値を出して、例題216では極値を出していないのか
・極値を出すか出さないで解くかはどこで見分けるのか
この二つについて教えて欲しいです。どなたかお願いします🤲
2
406 第6章 微分法改
練習
[216]
****
7956
く
50
785
2210
196
例題 216 三角不等式
****
cos 30 + cos 20+ cos >0 を満たす0の値の範囲を求めよ.ただし,
0≦02
考え方
解答
とする.
例題 212(p.402) と同様にして3次関数のグラフとx軸の位置関係を考える.
まず cosa=t とおき,tの3次不等式を作る
cost とおくと,002πより、
また,
cos30=4cos0-3cos0=4t-3t
cos 20=2 cos 0-1=2t2-1
4t3+2t-2t-1>0
したがって, 与式は,
(4t-3t) + (2-1) +t>0
2t2(2t+1)-(2t+1)>0
(2t+1)(2-1)>0 ...... ②
(2t+1)(2-1)= 0 とすると,
tの値の範囲に注意
与式の左辺を cosで
統一する。そのとき
倍角,2倍角の公式を
利用する.
((p.269 参照)
組み合わせを考えて,
因数分解する。
[解]
Commen
ここ
こで, 2
線が一致
200
とし,
線をも
この
√2
1
1
t=-
0
2' √2
2
y=4t+2t-2t-1 のグラフは,
右の図のようになる.
したがって、②の解は、 ①より
RD
3次不等式はグラフを
利用して考える. 極値
を求める必要はない。
30
1
<t≦1
√2
2√2
よって,t=cos 0,0≦02 より
0≤0<
単位円を利用して8の
範囲を求める.
て
π
第3,4象限の解と第2,
2
3
147
4
1
√2-
1象限の解は,それぞ
例
0
5
<<
27
<<
れx軸に関して対称
10
1
x
43
7
3π
1 4π
注〉和積の公式を用いて次のように解くこともできる. (p.274 参照)
( cos30 + cos 0) + cos20>0
2 cos 20 cos 0+ cos 20>0
cos 20 (2 cos 0+1)>0
(2cos'0-1)(2cos0+1)>0
ここで, cosa=t とおくと,
cosA+ cosB=2cos-
A+B A-B
COS
2
2
(2t2-1)(2t+1)>0
あとは、例題216と同様にして解けばよい.
tan 20 + tan00 を満たす 0 の値の範囲を求めよ。ただし,0≦02 とする.
次
402 第6章 微分法
例題 212 不等式の証明
****
x≧0 のとき,不等式 x+12≧x+8x が成り立つことを証明せよ。
例
S
考え方 f(x) = (左辺) (右辺)=(x+12)(x+8x)
の
とおいて,y=f(x)のグラフを考える.
y=f(x)d
与えられた区間においてf(x) ≧0となるのは,
考え
y=f(x) の最小値が0以上であるとき,つまり,
y=f(x)のグラフがx軸と接するか、x軸より上
側にあるときである
解答 f(x)=(x+12)(x+8x)=x-x-8x+12
0
とおくと,
f(x)=3x²-2x-8=(3x+4)(x-2)
f'(x)=0 とすると,x=-
3'
2
x≧0におけるf(x)の増減表は次のようになる.
x
'(x)
0
f(x) 12
2
0 +
極小
0
y=f(x) のグラフは右の図
12
YA
0以上
f(x)=(左辺)(右辺)
増減表もグラフも,
x0 の部分だけ考え
ればよい.
f(0)=0°-0°-8・0+12
=12
10(2)=23-22-8.2+12
=0
最小
のようになり, x=2のとき最
O
2
x
極小値が最小値
小値0をとる。
したがって,x≧0 において, f(x) ≧0となる
よって,与式は,左辺)(右辺) ≧0となり
x≧0 のとき,不等式 x'+12≧x' + 8x が成り立つ。
等号はx=2のとき成り
立つ.
Focus
つねにf(x) { f(x) の最小値} ≧0
注
例題 212 は, (左辺) (右辺) =x-x-8x +12
3MO=(x-2)(x²+x-6)&
=(x-2)(x+3)
で,x20 において, (x-2)20,x+3> 0
(大)
より (左辺) (右辺) 0
(大)
として証明することもできる.
練習
[212]
x-2 のとき,不等式が成り立つことを証明せよ.
**
解
*
x)
例題
3
方程式・不等式への応用 403
213 不等式を満たす定数の値の範囲
****
kを定数とする. x≧0 ならばつねに 4x+1≧kx となるようなkの値
の範囲を求めよ.
考え方]f(x)=4x+1-kx とおく. x≧0 で f(x) ≧0とな
るのは,y=f(x)のx≧0 における最小値が0以
上となるときであるので,それを満たす定数kの
値の範囲を求める.
(一橋大)
f(x)=4x+1-kx とおくと,
解答
f'(x)=12x2-k
(最小値) ≧0
(i) k>0 のとき
(右辺)
f'(x)=12x2-k=(2√/3x-√k)(2√/3x+√k)
f'(x)=0 とすると,
√k
f(x)A
x=±
=土
2√√3
√3k
6
x0 における f(x)
の増減表は右のよう
になる.
x
0
√3k
6
...
√3k
x
0,
f'(x)
-
0
-考え
√3k
+
6
x=
のとき最
f(x) 1
極小
7
6
極小値が最小値
+12
小値をとるから,
3
/3k
/3k
+1-k·
√3k
+12
6
6
√3
√3
・k√k+1-
-kvk=1-
18
6
√3
9
k√k≥0
成り
より
ID. √
9
3
>0より, 両辺は正より2乗して、
(k-3)(k²+3k+9)≤0
k³ ≤27
x³-a³
k>0 のとき, k+3k+9>0 だから,
k-3≤0
したがって, 0<h≦3
(ii) k0 のとき
x≧0で,
したがって, 4x +1≧kx が成り立つ.
=(x-a)(x+ax+α)
k-3≦0 より
k≤3
x≧0, k0 のとき,
f(x)=4x+1-kx>0
4x≧0, 1>0.
-kx≧0 より
4x+1-kx>0
よって, (i), (ii)より k≦3
Focus
第6章
・つねに f(x) 0⇔ {f(x)の最小値} ≧0
・3次以上の不等式はグラフで考えよ
xの3次関数f(x)=xkx+4kについて,x≧0 のときつねに f(x) ≧0とな
練習
213るような定数んの値の範囲を求めよ.
******
(金沢大)
◆p.410 21
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