Question

yururu

xy平面上に2つの放物線 C1：y=8, C2：y=ーx^2ー4x+aがある. C1上の点P（t、t^2）（t＞0）におけるC1の接線をlとする.
（1）lの方程式をtを用いて表せ.
（2）lがC2に接するとする。このとき、aをtを用いて表せ、また、lとC2の接点のx座標をtを用いて表せ.
（3）(2）のとき、C2とlおよびソ軸で囲まれる部分の面積をSとする。Sをtを用いて表せ

⑶のSの面積はなぜ
∮［-t-2](x+t+2)^2dxと計算できるんですか。詳しく説明していただけたら嬉しいです。

■ 解答
とおく.
f(x)=x2, g(x)=-x2-4x+α
C:y=f(x)
y
P(t, t2) XxC
(i)
s=S__(h(x)-g(x)}dx
=S__2(x+t+2)dx
=
-(x+t+:
=1/(1+2).
(Ⅱ) 直線 PQ の傾きは
P²-a-1-4-
t-0
-t-2
(ただし, a= -2t2-4t-4.)
したがって, 直線 PQ の方程式は
y=(1-1)x+a.
t
C2:y=g(x)
(1) f'(x) = 2x より,P(t, f2) における Cの
接線の方程式は,
よって,
y-t=f(t)(x-t).
y-t=2t(x-t).
y=2tx-t².
T = [ " [ f ( x ) = { (t − q ) x + a}]dx
T=
-
{x² - (-)x−a}ax
-lt-
=
=1/3/3-2/31
a 2
t-
-ax
(2) ① の右辺をh(x) とおく. y=h(x) と
y=g(x) を連立し,yを消去すると,
h(x)=g(x).
2tx-f=-x2-4x+a.
x2+2(t+2)x-t-a=0.
l が C2 に接する条件は, ②が重解をもつこ
とであるから,②の判別式をDとすると,
01=(z+2)-1 (−f-a)=0.
これより,
a=-2t-4t-4.
また、このとき②は重解
x= -(t+2)
=-t-2
をもつ.
2
---at
2
=-11³ -- 1/1/1at
6
=-11³-(-212-41-4)t
6
=cof+2t+2t.
したがって,
S-T=1/2(t+2)-(qt+2t+2t)
そこで,
8
=-1713³ + 2 + 31315
F(t)=1/213+2t+10/23
==
(3)
よって, l と C2 の接点のx座標は,
-t-2.
とおくと,
C:y=f(x)
y
l:y=h(x)
F'(t) = - 3³t² +2
2tx-t²
2
2
-t-2
P(t, t2)
t+
t-
2
√3
x
0
T
よって, t>0 における F(t) の増減は次
のようになる.
C2:y=g(x)
S
Q(0, a)
2
t
(0)
...
3
F'(t)
+
0
F(t)
7 極大
-16-
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Answer 1

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Take

yururuさま
(3) S=∫(-t-2〜0)｛(2tx-t²)-(-x²-4x+a)｝dx　←S=∫(α〜β)｛上ー下｝dx
=∫(-t-2〜0)｛x²+(2t+4)x-t²-a｝dx　…①
さて、(2) において
　x²+(2t+4)x-t²-a=0
は重解 x=-t-2 をもつから
　x²+(2t+4)x-t²-a=｛x-(-t-2)｝²=(x+t+2)²　…②
②を①に代入して
S=∫(-t-2〜0) (x+t+2)²dx
=(1/3)［(x+t+2)³］(-t-2〜0)
=(1/3)(t+2)³　■
となります。

yururu

わかりやすいご説明ありがとうございます。
最後の1/3を使った計算ってどうやってるんですか。

Take

yururuさま
一般に
∫(ax+b)ⁿ dx=｛1/a(n+1)｝(ax+b)ⁿ⁺¹+C　…①　←｛1/a(n+1)｝は、分子が 1、分母が a(n+1) です
が成り立ちます。これは数学Ⅲで学習する内容ですが、
数学Ⅱの発展として登場することもあるので、知っておくと良いです。
本問は①において、a=1 , b=t+2 , n=2 としています。