Question

わ

(1)なんですが、後々を考えてこの式変形のやり方にしてるんですよね？
私のやり方(yを消去)でも大丈夫ですか？

の共有点の座標を求めることができるか、
また、2曲線の位置関係を把握し、定積分を用い
面積を求め、その大小関係を調べることができ
るかを確認する問題である。
f(x) sg(x),
x≧g(x).
x
のとき、(x)=g(x)
解答
となるから, S.
積である。
S, は次図の網掛け部分の面
(1) f(x)-g(x)-
2sinx
√3
1+cosr
1+cost
2
sin.x
1+cosx
... D
y=f(x) と C:y=g(x) の共有点のx
座標は, 方程式
f(x)=g(x) すなわち f(x)-g(x)=0
の解である.
f(x)-g(x)=0と① より .
2
T+eos.x (sinx - -0.
(sinx−13 )=0.
1+cost
0≦x<より、
sinx=
0
y=g(x)
S₁
S
+y=/(x)
3'
よって、CとC2 の共有点の座標は,
-sinxdx
(2)(1) f(x)dx=2800
(!!)
1+cosx
-2/(1+cosx)dx
=-2
1+cosx
==2log(1+cosx)+C.
COS 2x
2
(Cは積分定数)
()
1+cosx 2
2
1
1+cosx
よって,
S₁-S₂
-fi (p(x)-f(x)dx-f2(f(x)-p(x)dx
=
= f*(9(x) = f(x)}dx+ fƒ³*{9(x) = f(x)}dx
-³*(g(x)-f(x))dx
=|,3 tan = + 2log(1+cos x)]}
=3+210g -2log2
=3-log16
= loge-log16
> log 2.73-log 16
=log19.683-log 16
>0
であるから、
S₁>S₂.
( e > 2.7 より )
f(x)dxdx
1+cosx
=√stan+c.
(C' は積分定数)
また、①より、
解説
(1) Cy=f(x) と C2:y=g(x) の共有点のx座標
は、方程式
f(x)=g(x) すなわち f(x)-g(x)=0
- 41 -

Cos/)"
2/X(+ cook)
fosx
(1)
2sinx
(tcosx
1000x
Oxπより(1000x40
だから
①の周辺に1tcoπを
かけ、2sinx=f
ゆえに、
sint:
A
2
x = tz F
マイナス×マイナス(x)=
(2) f(x) 2sinx 129,600)
(frost-2--₤3-7/
この

解説
5 積分法
【III型
選択問題】 (配点 40点)
0≦xにおいて定義された関数
2sinx
f(x)=
g(x)=
√3
1+cost
1 + COS x
があり、曲線 y=f(x) を Ci, 曲線 y=g(x) を
C2 とする.
(1) C と C2 の共有点のx座標を求めよ。
(2)(i) 不定積分ff(x)dx を求めよ.
() tan の導関数を COSx を用いて表せ.
(3) C1, C2 およびy軸の3つで囲まれる部分の
面積をSとし, C, と, で囲まれる部分の面
積を S2 とする. S と S2 の大小を比較せよ。
ただし, 自然対数の底eについて,2.7e<2.8
であることは用いてよい。
【配点】
(1) 4点.
(2) 16点 (i) 9点 (1) 7点
(3)20点.
《設問別学力要素》
大問
分野内容
配点 小問
知識
配点
技能
5 積分法
40点(1)
(2)(i)
49
思考力
判断力
表現力

Answer 1

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和

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