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この模範解答は言葉が足りないですね。
気が付けば、模範解答のように思いつくかもしれませんが、１度メモ書きで解を求めてから再整理して書き写したようになっています。
普通は以下のような感じで、地道に求めると思います。
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(a-1)(x-1){(a+1)x+1}=0 …① まで変形したら、
先ず、a=1とa≠1で場合分けする
・a=1のとき、①は 0・(x-1)(2x+1)=0 なので、どんなxでも常に成り立つ(解である)。
・a≠1のとき、(a-1)≠0なので、①の両辺を(a-1)で除算すると (x-1){(a+1)x+1}=0…②となる。
次に、a=-1とa≠-1で場合分けする（上記の続きなので、a≠1であることに注意）
・a=-1のとき、②は (x-1)=0 なので、x=1が解である。
・a≠-1のとき、②は(a+1)≠0なので、②の両辺を(a+1)で除算すると (x-1){x+1/(a+1)}=0となり、
x=1またはx=-1/(a+1)が解である。
以上を整理すると、以下のようになります。
・a=1のとき、xはすべての数
・a≠1のとき、かつ、
・a=-1のとき、x=-1 ・・・(※)
・a≠-1のとき、x=1またはx=-1/(a+1)
(※)a=-1であれば、当然a≠1なので、次のように再整理できます
・a=1のとき、xはすべての数
・a=-1のとき、x=-1
・a≠1かつa≠-1のとき、x=1またはx=-1/(a+1)
（↑a≠±1のとき、x=1またはx=-1/(a+1)）
以上の答えの道筋が分かっていれば、模範解答のように記載できます。
模範解答作成者は、再整理して答えを示すよりも、あたりまえのように最初からa≠±1とした方が、すっきりして分かりやすいと思ったのでしょう。
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もう１つの質問「(a-1)だけ消えている」は、上記の中でも解説しています。
「(a-1)≠0なので、①の両辺を(a-1)で除算した」です。
めっちゃわかりやすい解答、ありがとうございます🙇♀️
回
他に考えられる理由としては、a≠±1のときは2次関数になり、2次関数として解き、
その後にa=1、a=-1のときを解いていきます。
この場合、①の式まで因数分解しないです。
方程式が、2次、1次、定数、となる形を考えて解いても良いです。自分の解きやすい方法が良いです。
2次関数（２次方程式）かどうかは、以下のような感じに解きます
(a+1)(a-1)x²-a(a-1)x-(a-1)=0 この式を見て、２次方程式になるのかどうかを考える。
2次方程式の場合：a≠±１
(a+1)(a-1)x²-a(a-1)x-(a-1)=0
(a+1)x²-ax-1=0
{(a+1)x+1}(x-1)=0
x=-1/(a+1),x=1
2次方程式でない（…1次方程式・定数）の場合：a=-1 or a=1
・ a=-1のとき
(a+1)(a-1)x²-a(a-1)x-(a-1)=0
-2x+2=0
x=1
・ a=1のとき
(a+1)(a-1)x²-a(a-1)x-(a-1)=0
0=0
x：すべての値
模範解答は、この考えを記載しているのかもしれませんね（読み取れませんが）。
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補足：２次方程式か１次方程式かに分けて考えるのは、よく出題されます。
例えば、２次の係数が0か否かの違いで、以下のように考えながら解きます。
2次方程式・・・解の公式を使って考えればよさそう
1次方程式・・・解の公式は使えないが、簡単に解が求まりそう
そんな解き方があったんですね‼︎
＝0にして、aだけで考えて＝0にでき確定できるときと、できない時で場合わけして、できない時は、除算してaのあるかっこを消す。そしてそれでも、aのとる値で変わる場合、また場合わけして考え、＝0を作るということですね！語彙力なくてすみませんm(__)m
忙しいと思いますが、こんな問題に付き合ってくれてありがとうございます٩(๑❛ᴗ❛๑)۶
誤植「a=-1のとき、x=-1」→「a=-1のとき、x=1」です。（2か所あり）
ごめんなさい