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122変数関数 / 等式の条件が2次式の場合
実数エリが+=1をみたすとき,'+4yは(x,y)=
とり(x,y)=(,)のとき最小値
)のとき最大値
実数エリがェー2zy+2g2=8 を満たすとき,x+yの最大値と最小値を求めよ.
をとる.
(東海大・理, エ
( 名古屋学院大
(7719123
角入し
7
この先回ら
#4
等式の条件が2次の場合 (ア)の場合,1-y2としてェを消去すれば前間と同様に解ける。こ
こで,xの範囲に制限がないから,yに反映させる条件はない。とすると大間違いである。 例えばy=2
とすると, r2=-3となるがこれを満たす実数ェは存在しない!
つまり、エが実数であるための条件≧0をリに反映させる必要がある。 (zが実数で存在する条件)
一方、(イ)の場合、無理に1文字を消去してェをリで表せば,r=y±√8-y2というやっかいなもの
が登場してしまう.こんなときは、次の手法が威力を発揮する。 (「大学への数学」 では “逆手流” と呼
んでいる)
かて
f(x,y)=0のとき,g(x, y) の取り得る値の範囲 I を求めるとする. ある値kについて,
kがIの範囲に入る 「f(x,y)=0かつg(x,y)=kを満たす実数x, y が存在する」
本間の場合、f(x,y)=x²-2xy+2y2-8, g(x,y)=x+yであり,「 」 から得られるkの条件
(範囲)がIになるわけである.なお,逆手流については、詳しくは 66.
解答量
(ア)+y2=1により, r2=1-y2
存在条件に
→Dしかない
(ア)有在条件(イ)有不
1次へ
xxの
ェの実数条件. な
お,r'+y2=1 は
右図の単位円を
表すことからも
34
2-7
1
20 であるから, 1-y2≧0 ..-1≤y≤1
このとき,'+4y=(1-y2)+4y=-(y-2)2+5
よって, y=1 (このときx=0) のとき最大値 4
y=-1 (このときx=0)のとき最小値 4
(xtyがんという実数値を取り得る.
←xty=kかつェー2xy+2y2=8 を満たす実数工y が存在する。
-1≦y≦1が分かる.
①る+300-8-
②
2ェ(k-1)+2(k-1) 2=8 ① (y=k-ェ･･････②)
を満たす実数が存在する。
ここで, ①を整理すると,
52-6kr+2k2-8=0
②を使って”を消去.なお, ェが
実数なら②から」が実数である
から
が言える.
これを満たす実数ェが存在するための条件は,上式をェの2次方程式と見たと 少なくとも1つ実数解を持たな
きの判別式をDとすると, D≧0であるから,
ければならない。 その条件は
DZO.
D/4-(3k)2-5(2k2-8)≥0 .. k²≤40
.. -2√10 ≤ k ≤2√/10
よって,xtyの最大値は2/10 最小値は2/10 である.
12 演習題(解答は p.59)
(ア) エリが+2y2=1 をみたすとき2x+3y2の最大値は [
である.
で,最小値は [
( 明海大歯)
(イ) (1) 実数エリがry+y-y-1=0をみたすとき, yの最大値は[
最小値は □である。
]で,
(愛知工大)
(ア) 実数条件を忘れな
(2) 実数x、yがェー2x+y=1を満たすとき,x+yの最大値は [
である.
最小値は
いように、
( 広島工大)
(イ) 逆手流を使う.
解答のか
45
¥4
1,2じゃなくてア、イです
訂正申し訳ない