Question

Ruru.

この問題を教えていただきたいです🙏

206. 2つの定点A(1, 1), B(-1, 1) に対し, 2つの動点P (u, 0),
Q(v, 0) が条件 uv=-2 を満たしながら動くとき 2直線PA, QB の交点を
T(x, y) とするとき, x, yの満たす方程式を求めよ。 (06 日本獣医生命科学大)

円と直線

Answer 1

Take

Ruru.さま
(解答)
u≠1 のとき、直線 PA の y 切片をaとおくと、直線 PA は
(x/u)+(y/a)=1　…①
と表せる。①は点 A を通るので代入すると
(1/u)+(1/a)=1
∴(1/a)=(u-1)/u
これを①に代入して
(1/u)x+｛(u-1)/u｝y=1
∴x+(u-1)y-u=0　…①’
これは u=1 としても直線 PA を表す。
同様に、v≠-1 のとき、直線 QB の y 切片をbとおくと、直線 QB は
(x/v)+(y/b)=1　…②
と表せる。②は点 B を通るので代入すると
(-1/v)+(1/b)=1
∴(1/b)=(v+1)/v
これを②に代入して
(1/v)x+｛(v+1)/v｝y=1
∴x+(v+1)y-v=0　…②’
これは v=-1 としても直線 QB を表す。
さて、①’②’をともにみたす (x , y) が点 T の座標である。よって、
①’より (y-1)u=-x+y　…①’’
②’より (y-1)v=-x-y　…②’’
①’’×②’’より
(y-1)²uv=x²-y²
∴-2(y-1)²=x²-y²　(∵uv=-2)
∴x²+y²-4y+2=0
∴x²+(y-2)²=2
よって、点 T の軌跡を表す方程式は円 x²+(y-2)²=2　■
でいかがでしょうか。