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基本 29 群数列の基本
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奇数の数列を13, 57, 9, 1113, 15, 17, 1921. ••••••
のように, 第n群が
n個の数を含むように分けるとき
[類 昭和薬大)
(1) 第群の最初の奇数を求めよ。
(3) 301 は第何群の何番目に並ぶ数か。
(2)第n群の総和を求めよ。
P.43931
奇数で
2{1/(n-1)n+1}-1=㎥°-n+1
これはn=1のときも成り立つ。
(2) (1)より,第n群は初項n-n+1, 公差 2,項数nの等
差数列をなす。 よって, その総和は
n(2-(n²-n+1)+(n-1)+2)=n'
(3) 301 が第n群に含まれるとすると
指数を、ある規則によっていくつかの
群に分けて考えるとき、これを群
数列という。
もとの数列
n-n+1301<(n+1)-(n+1)+1
群数列では、次のように 規則性に注
目することが解法のポイントになる。
「区切りを入れる
と分け方の規則
がみえてくる
区切りをとると
もとの数列の規
則がみえてくる
数列
よって
n(n-1)300 (n+1)n ...... ①
n(n-1) は単調に増加し, 17・16=272, 18・17=306 であ
るから, ①を満たす自然数nは
n=17
1から始まる奇数の番
目の奇数は2k-1
<1-1+1=1
n(2a+ (n-1)d)
まず, 301 が属する群を
求める。 右辺は第
(n+1) 群の最初の数。
n(n-1)が「単調に増加
する」 とは,nの値が大
きくなると n(n-1)の
章
3種々の数列
① もとの数列の規則、群の分け方の規則
[2] 第群について、その最初の頃, 項数などの規則
上の例題において,各群とそこに含まれている奇数の個数は次のようになる。
301が第17群の番目であるとすると
(172-17+1)+(m-1)・2=301
これを解いて
m=15
したがって, 301は第17群の15番目に並ぶ数である。
k=151
別解 (前半) 2k-1301 から
値も大きくなるというこ
と。
◄a+(m-1)d
21 第1回 第2回 第3
(n-1) 群
第1群
1 3,57, 9, 11 ......... | |
..........
個数 1個
2個
3個
(n-1)
公差2の
等差数列
よって, 301 はもとの数列において, 151番目の奇数であ
る。 301が第n群に含まれるとすると
(n-1)
n(n
(n-1)+1番目の奇数
1/21n(n-1)<151s1/2n(n+1)
(1)の数に注目する。 第群に
個の数を含むから、 第 (n-1)群の末頃ま
でに (1+2+3++(n-1)) 個の奇数が
ある。
第1群
①
第2群 35
1個
ゆえに
n(n-1)<302≦n(n+1)
2個
これを満たす自然数 n は, 上の解答と同様にして
<第1群から第群まで
にある奇数の個数は
k(k+1)
よって、第群の最初の頃は、奇数の数列
1.3.5の
第3群 7. 9. 11
第4群 13 15 17 19
第5群 21.
3個
4個
(1+2+3+....+ (n-1)+1) 番目の項で
ある。
T
{(1+2+3+4)+1} 番目
右のように、初めのいくつかの群で実験をしてみるのも有効である。
(2)第群を1つの数列として考えると, 求める総和は、初項が(1)で求めた奇数, 公
差が2項数nの等差数列の和となる。
(3)
体的な数を代入して目安をつけるとよい。
とし, まずa 301 <a +」 となるn を見つける。n に具
の最初の項を
CHART 群数列
① 数列の規則性を見つけ、区切りを入れる
[2] 第群の初項・項数に注目
解答
1+2+3+......+(n-1)=
5,22という条件が
(1) 22 のとき 第1群から第 (n-1) 群までにある奇数 第 (n-1) 群を考えるか
つく。
の個数は
0-1/2(n-1)n
よって、第群の最初の奇数は 1/2 (n-1)n+1} 番目の「+1」を忘れるな!
n=17
基本例題29の結果を利用しての公式を導く
基本例題 29において, 第n群までのすべての奇数の和は, 解答 (2) の結果を利用すると
検討
1+2+3+....+= 2
一方,第n群の最後の奇数を, 第 (n+1) 群の最初の項を利用して求めると
{(n+1)-(n+1)+1}-2=n+n-1
また、もとの数列の第群までの項の数は 1+2+3+…+n= 1/12n (n+1)
ゆえに,第n群までのすべての奇数の和は
11/12/12m(n+1)(1+(n-1)=1/27(n+1)}
したがって,{/12n(n+1)}' を導くことができる。
練習第群がn個の数を含む群数列
291|23|3454, 5, 6, 75, 6, 7, 8, 96, について
(1) 第n群の総和を求めよ。
(2)初めて99 が現れるのは,第何群の何番目か。
( 類 東京薬大〕
(3)最初の頃から1999番目の項は,第何群の何番目か。 また, その数を求めよ。
全て理解できました。
丁寧な説明ありがとうございました。