Question

ゲストあ

計算方法、答えともに分からない状態です。
教えていただけると幸いですm(_ _)m

問題 A2 (10点)
関数y = sinh(x + 1) の逆関数を求めよ.

逆関数

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

Take

ゲストあ様
以下、e^x を exp(x) で表すことにする。
また、双曲線関数 y=sinhx :=｛exp(x)−exp(−x)｝/2 の定義域と値域はそれぞれ −∞ < x < ∞ , −∞ < y < ∞ であることに注意する。
（解答）
y=sinh(x+1)　(−∞ < x < ∞ , −∞ < y < ∞) の逆関数は
x=sinh(y+1)　(−∞ < x < ∞ , −∞ < y < ∞) .
よって、
x=｛exp(y+1)−exp(−y−1)｝/2
∴x=｛exp(Y)−exp(−Y)｝/2　［y+1=Y とおく］
∴2x=exp(Y)−exp(−Y)
∴｛exp(Y)｝²−2x exp(Y)−1=0　←上の式の両辺に exp(Y) をかけて移項ました
∴｛exp(Y)−x ｝²=x²+1　←平方完成です
∴exp(Y)−x =±√(x²+1)　
∴exp(Y) =x±√(x²+1)
∴exp(Y) =x+√(x²+1)　(∵exp(Y)>0)
∴Y=log(x+√(x²+1))
∴y+1=log(x+√(x²+1))
∴y=log(x+√(x²+1))−1 ■
となります。