Question

いなり

二項定理を用いる問題です。わかる方教えてください

13 (1) 21=1+20 として, 二項定理を利用して, 2121 を400で割ったときの余りを求めよ。
(2) 99Co +99C1 + 99 2 + … + 99C48 +99C49=2" を満たすnの値は
[
である。

Answer 1

あ

(1)21²¹=(1+20)²¹=1+20+₂₁C₂20²+₂₁C₃20³+･･･+₂₁C₂₁20²¹
ここで3項目以降の項は20²つまり400を因数に含むため、400の倍数となる。
よって21²¹を400で割った余りは1+20を400で割った余りと等しい。
以上より、21²¹を400で割った余りは21。

(2)(1+1)⁹⁹=₉₉C₀+₉₉C₁+₉₉C₂+･･･+₉₉C₄₉+₉₉C₅₀･･･+₉₉C₉₈+₉₉C₉₉
ここで₉₉C₀=₉₉C₉₉、₉₉C₁=₉₉C₉₈、･･･₉₉Cₐ=₉₉C₉₉₋ₐ
(aは0〜99までの整数)
となるので
(1+1)⁹⁹=(₉₉C₀+₉₉C₁+₉₉C₂+･･･+₉₉C₄₉)+(₉₉C₀+₉₉C₁+₉₉C₂+･･･+₉₉C₄₉)=2(₉₉C₀+₉₉C₁+₉₉C₂+･･･+₉₉C₄₉)
よって
₉₉C₀+₉₉C₁+₉₉C₂+･･･+₉₉C₄₉=(1+1)⁹⁹÷2=2⁹⁹÷2=2⁹⁸
よってn=98