Question

sssyyy

個々で最小値を出しては行けないのですか？
例えばa≧1のときa=○で最小値△をとる
1/e<a<1のとき〜
みたいな感じで

RACTICE 142°
実数a>0 について,I(α)=Slogax|dx とする。I(a)の最小値,およびそのとき
のαの値を求めよ。
(
[類 北海道大]

logax=0 とすると
ax=1 すなわち x=1
a
の場合に分けて考える。
積分区間は 1≦x≦e であるから,11<<e, es
[火]
a
重要
場合
1
x=-
また Slogaxdx=f(logx+loga)dx
あ
=xlogx-x+x loga + C
→場
ここで, F(x)=xlogx-x+xloga とする。
[1] - 1 すなわち a≧1 のとき
a
1≦x≦e で logax≧0 であるから
1(a)=Slogaxdx=[F(x)=(e-
[F(x)=(-1)10ga+1
I'(α)=e-1>0であるから,I (α) は増加する。
a
F
F

[2] 1<<e すなわち / <a<1のとき
sxsl で logaxs0 [1/2sxse で logax≧0 であるから
a
1(a)=f(-logax)dx+$",logaxdx=-[F(x)}+[F(x)]1
=-
a
2F(12) +F(1)+F(e)=(e+1)10ga+2/2
I'(a)=e+1
2 (e+1)a-2
a²
a
a
--F(1)
=
a
-log
1
a
ゆえに
=
a
a²
2
I'(α)=0 とすると
a
2
1_e
a=
e+1
I'(a)
-
|
2
e+1
0 +
:
これは <a<1 を満たす。 I(a)
V
極小
e
よって,I(a) の増減表は右上のようになる。(x-1)
[3] 1/2 ≧e すなわち <a=2のとき
ch(I+
8
1
=
1,
-loga-
a
a
a
e
1≦x≦e で logax≦0 であるから
I(a)=(-logax)dx=(1-e)loga-1
I'(a)=1-e <0 であるから, I (a)は減少する。
a
[1], [2], [3] から, I(α) は
11
f+I
← [1] の符号を
の。
21 1(a)
10
a=-
2
e+1
で最小値1 (21)=(e+1)10g
2
te
ES
e
e+1
をとる。
1
2
e+1.
2011
0

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

和

それは違いますね
これまで、そんな答え方はしたことがないはずです

求めるのは
「変数aの全範囲のうち、どこでI(a)が最小か」
ということです
それなのに、
「a≧1なら最小値がいくつで、
1/e<a<1なら最小値がいくつで、…」
という答え方はしてこなかったはずです

sssyyy

二次関数の場合分けで答えるときはその文字の範囲によってmax or minを答えたと思うのですが、それとこれとは別なのですか？

和

別物です
変数と定数の区別がついていないようです

あなたが言っているのは、
f(x)=x²-2ax+3(1≦x≦4)の最大最小
のような問題です
これはaが定数でxが変数です
定数aの値によって場合分けします

aでなく別の文字定数でも同様です
f(x)=x²-2kx+3(1≦x≦4)の最大最小
なら定数kの値によって場合分けします

もしも変数がxでなくaなら、こう書かれます
f(a)=a²-2ka+3(1≦a≦4)の最大最小
これはkが定数でaが変数です
定数kの値によって場合分けします

以上に対して、
質問の問題はaの関数です(変数はa)
他の文字はありません
文字定数は無しです
単なる
f(x)=x²-2x+3(1≦x≦4)の最大最小
とか
f(a)=a²-2a+3(1≦a≦4)の最大最小
のようなものです
場合分けして考えたり答えたりしないでしょう

sssyyy

分かりました🙏🏻