Mathematics
มัธยมปลาย
2問あります
(1)番
なぜ y＝e logx が 赤線のx＝ の式になるのでしょうか
(2)番
青線の式でなぜy＝- cosxを微分したのでしょうか
そのまま y＝-cosxで積分できないのでしょうか
わかる方お願い致します
基本 例題 178 曲線 x=g(y) と軸の間の面積
次の曲線と直線で囲まれた部分の面積Sを求めよ。曲
(1) y=elogx, y=-1, y=2e, y 軸
00000
(2) y=COS
(0≤x≤л), y= y=-
1
2
y軸
2'
p.300 基本事項3 重要 184
指針
調べる。
まず、曲線の概形をかき,曲線と直線や座標軸との共有点を
YA
x=g(y)
d
常に
(1) y=elogx を x について解き, ♡で積分するとよい。
xについての積分で面積を求めるよりも,計算がらくに
なる。
(2)と同じように考えても、高校数学の範囲では y=-cosx
x=g(y) の形にはできない。 そこで置換積分法を利用する。
(1,2) ともに別解のような, 長方形の面積から引く方
法でもよい。
S=
g(y)≥0
= g(9)dy
2e
(1) y=elogx から
y
x=ee
-1≦x≦2eで常にx>0
解答
よって
2e
s=e=dy=[ee]
-1
=ee-ee-
=e³-e¹-1
(2) y=-cosx から dy = sinxdx
よって
S=Sxdy=
dy=xsinxdx
-[-xx]+$" com.x dx
==
XCOS
3
π
=-237-(-1)+1.1/1
=
π
π
+0=
(1)の別解 (長方形の面積
x=exから引く方法)
x
S=e2(2e+1)
-S(elogx+1)dx
=2e3+e²
-[e(xl0gx-x) +x
2e+1
|1|2|
y
π
X
3
→
↑
←
|1|2|2|3|
(2)の別解 (上と同じ方法)
2S-(+)
・π
S=
-S²² (-cos.x + 1)dx
= x+sinx−2x]
YA
π
3
y=-cost
12
1
2、
S
0
+ sinx
-1
12
π 2
23
π
π
2
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