Question

たま

数Ⅲ平均値の定理についてです

解答の1、2行目の意味がよくわかりません😭
XとX²の大きさにより平均値の定理から出すCの範囲を
求めようとしていることはなんとなくわかりますが、
なぜこのように考えられるのか理解できません💦
教えてください🙇‍♀️🙏

*159 平均値の定理を用いて,次の極限を求めよ。
(1) lim
sinx-sinx2
x → +0
x-x2
(2) lim
201x

sin B
159 (1) x+0 であるから, 0<x<1としてよ
x2<x
い。このとき
関数 f(t) = sint はすべての実数で微分可能で、
f' (t) = cost であるから,区間 [x2, x] において,
平均値の定理を用いると
sinx-sinx2
=cosc, x2 <c<x
x-x2
を満たす実数 c が存在する。
lim x2=0, lim x=0であるから
x+0
x+0
37
limc=0
x+0
よって
lim
x+0
sin x − sin x
x-x2
2
0<= (0)\
= lim cosc
0+←x
= cos 0=1
可能で

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

32hiro【数学教師】

x→+0というのは、xを正の方から0に近づけることでした。なので現状x>0を考えています。

ここで分母にも分子にもxやxの2乗が出てきており、平均値の定理を使うために大小関係を調べたいのです。
xの2乗をx^2と表すとすると、
x<x^2 となるのは、x>1のとき…①で
x>x^2となるのは、0<x<1のとき…②です。
x→+0のときは2つのうちのどちらかというと、②のときですよね。なので0<x<1として構わないのです。

たま

やっと理解できました！
ありがとうございます🙇‍♀️