Question

りゅう

問題23 どうやって証明をしたらいいのかわからないです、、

〜かつという共通部分をどう書き表したらいいのか分かりません。

とりあえず1枚目のように解こうとはしたんですが、分からなかったので教えて欲しいです

17723
仮定より、
· VE>0 = NICE) EN, "ne [ n>NE) => \an_X\<ε]
YRER, VYER (H) - til = c(x-7 |] -0
①、②の両方を満たすので、任意のを口に対して、
E-E
・と考えて、N(z)=Ni(e) とおくと、
cx-y1
NCE) n =>>
| frans - fras|selan-al
f
<E
@ff (an) = f(a)
| Jai = frost≤
=
530
an
Jan-12
9/2-81

問 2.2
lim an a ならは,
818
818
問2.3
lim an = a³c> 0, x ER, Vy ER [|f(x) - f(y)|≤ c|x − y|] % 5
818
ば, lim_f(an)=f(a) が成り立つことを示せ.
n11
lim bm = ߣ51, __lim (an+bn) = a+ẞ

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

哲治

|f(an)-f(α)|<c|an-α|が成り立つ。(仮定)
まず任意のεを固定する。
∀ε ,∃δ ∃N ∀n≧N
|an-α|<δ (数列anの収束(仮定)より)
この時にδ=ε/cと定める。
すると
|f(an)-f(α)|<c|an-α|<ε
となる。
よって
∀ε >0 ,∃δ>0 |an-α|<δ→|f(an)-f(α)|<ε
となり題意は示された。

哲治

ちなみにこの命題は
リプシッツ連続→連続
という命題です。

りゅう

返信遅くなりすいません。
この青色の傾向引いてるところで，
limit→♾️f(x)＝f（y）　　　　と考えていいんですか？

りゅう

ここです

りゅう

limit→♾️f(x)＝f（y）ってことは
定義より
|f(x)-f(Y)|＜ε （任意のε＜0）

こう考えるからａnとαをxとyに代入してるんですか？？

りゅう

こんな感じでいいんでしょうか？？

哲治

まず１つ目は単なる書き間違いと思いますが
δ=ε/cですね。
もう一つは細かいですが、りゅうさんの書き方だとnに対してδが決まるという書き方になっていますが違います。
任意のεに対して、δが存在し、そのδに対して、
|an-α|<δとなるような番号nが決まるわけですね！

りゅう

なるほど
ありがとうございます！